$e^{2\pi i x/q}$ 在格点上求和的公式.

在阅读这个引理之前, 请先阅读问题2787 .

设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次整系数多项式, 记

\[
S(q,f(x))=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)).
\]

引理. 若 $(q_1, q_2)=1$ 及 $f(0)=0$, 则

\[
S(q_1 q_2,f(x))=S(q_1,\frac{f(q_2 x)}{q_2})\cdot S(q_2,\frac{f(q_1 x)}{q_1})
\]

此为 [1, P.14] 中引理 1.3

推论.  若 $q=p_1^{\ell_1}p_2^{\ell_2}\cdots p_s^{\ell_s}$, 这里 $p_1,p_2,\ldots,p_s$ 为 $q$ 的 $v(q)=s$ 个不同素因子. 则

\[
S(q,f(x))=\prod_{i=1}^{s}S(p_i^{\ell_i},\frac{f(qx/p_i^{\ell_i})}{q/p_i^{\ell_i}}).
\]

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)