关于微分结构
Moise 等证明了维数不超过 3 的拓扑流形上存在唯一的一个微分结构.
后来, Milnor 发现在七维球面上存在不同于标准微分结构的微分结构, 这个结果当时在数学界引起了不小的轰动. (所谓不同, 是指两个流形不是微分同胚的, 即微分结构不等价.)
Milnor 和 Kervaire 证明了在七维球面上一共存在 28 个不同的微分结构, 它们组成一个有限循环群. 其中一个自然是标准的微分结构, Milnor 将其他 27 种微分结构称为 7 维怪球.
人们也早就发现, 除了 $\mathbb{R}^4$ 以外, 欧氏空间上的微分结构都是唯一的. 后来, 由于 Freedman 和 Donaldson 等的工作, 人们发现在四维欧氏空间上甚至存在不可数多个不同的微分结构.
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Abel Prize Laureate 2011
John Willard Milnor
http://www.abelprize.no/c53720/binfil/download.php?tid=53742
如何得到 7 维球?
7维球是通常三维空间中二维球面的推广. 圆周是一维球面. 固定一维球面（圆周）的北极和南极，然后将圆周在第三个维空间中旋转一周, 就得到了二维球面. 类似的, 固定二维球面的北极和南极, 将二维球面在第四维空间中旋转一周, 就得到了三维球面. 依次得到四维球面、五维球面、六维球面、七维球面.
$S^4$ 上的微分结构是唯一的, 还是有多个或者无穷多, 至今仍是 open problem.
"$S^4$ 上有唯一微分结构" 这个猜测被称为 4 维时的光滑 Poincaré 猜测. 命名这个猜测的背景是 1982 年 Michael Freedman 证明了 4 维情形的 Poincaré 猜测. 即, 若一个 4 维流形同伦等价于一个 4 维球面, 则它也同胚于一个 4 维球面.
M. Freedman 给了一个 open question 作为进一步研究, 如果一个 4 维流形同伦等价于一个 4 维球面, 它是否也微分同胚于一个 4 维球面?
Milnor 的怪球表明光滑 Poincaré 猜想在 7 维时是错的.
Milnor 写的 Poincaré 猜测
http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf
Remark:
1986年, Michael Freedman 因解决了四维的 Poincaré 猜想而获得菲尔兹奖.
Michael Freedman 1982年关于四维流形的文章[2] [link]
References:
[1] 梅加强, 《流形与几何初步》
[2] Michael Hartley Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, J. Differential Geom. 17(3): 357-453 (1982). DOI: 10.4310/jdg/1214437136