设 $f\in L^{1}(\mu)$, ($L^{1}(\mu)$ 中的元素被称为 Lebesgue 可积函数或 Lebesgue 可求和函数).

若 $f=u+iv$, 这里 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 上的实可测函数. 对每个可测集 $E$, 定义

\[
\int_E f\mathrm{d}\mu=\Bigl(\int_E u^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E u^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr)+i\Bigl(\int_E v^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E v^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr).
\]

设 $f\in L^{1}(\mu)$, 则 $f$ 具有黎曼积分的一些类似性质.

\[
\Biggl|\int_X f\mathrm{d}\mu\Biggr|\leqslant\int_X |f|\mathrm{d}\mu.
\]

等号成立当且仅当存在常数 $\alpha$, 使得 $\alpha f=|f|$ a.e. 于 $X$ 上.

参考自 [1] P. 30.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》