设 $A$ 相似于对角矩阵, 求其中的常数 $a$, 以及可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.
设
\[
A=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0\\
8 & 2 & a\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\]
相似于对角矩阵, 求常数 $a$, 以及可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.
先求出矩阵 $A$ 的特征值,
\[
|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2 & 0\\
-8 & \lambda-2 & -a\\
0 & 0 & \lambda-6
\end{vmatrix}=(\lambda-6)\cdot(-1)^{3+3}
\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2\\
-8 & \lambda-2
\end{vmatrix}=(\lambda-6)\bigl[(\lambda-2)^2-16\bigr]=0
\]
可得 $\lambda_1=\lambda_2=6$, $\lambda_3=-2$.