P. 112  习题 3.1

5.  设实数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 满足 $a_0+\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\cdots+\dfrac{a_n}{n+1}=0$, 证明: 方程 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根.

6.  利用中值定理证明下列不等式:

(1)  $\arctan a-\arctan b < a-b$       $(0 < b < a)$;

10.    设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, 证明:  至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.

与 10 类似的题目是:

(10').    设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)$, 证明:  至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=f(a)$.

12. 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式 $f'(x)=f(x)$, 且 $f(0)=1$, 那么 $f(x)=e^x$.