$\text{det}:\mathcal{M}(n,\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ 是开映射或闭映射?
我们知道 $\text{det}:\mathcal{M}(n,\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续映射, 请问 $\text{det}$ 是否是开映射或闭映射?
对于复矩阵呢?
设 $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}$, 且 $a,b,c,d\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 求 $|A|$ 的取值范围.
对于一般的 $n$ 阶方阵 $A_n=(a_{ij})_{n\times n}$, 如果每个元素 $a_{ij}\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 请问 $|A|$ 的取值范围是什么?
[讨论]
设 $A$ 是 2 阶方阵, 则
\[
|A|=ad-bc,
\]
不妨先固定 $a$ 和 $d$, 则由于 $b,c\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 故
\[
-\varepsilon^2 < bc < \varepsilon^2.
\]
于是 $ad-\varepsilon^2 < ad- bc < ad+\varepsilon^2.$
同理
\[
-\varepsilon^2 < ad < \varepsilon^2.
\]
因此有
\[
-2\varepsilon^2 < ad-bc < 2\varepsilon^2.
\]
如果 $A$ 是三阶方阵
\[
A=\begin{pmatrix}
a & b & c\\
u & v & w\\
x & y & z\\
\end{pmatrix}
\]
则
\[
|A|=a\begin{vmatrix}
v & w\\
y & z\\
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
u & w\\
x & z\\
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
u & v\\
x & y\\
\end{vmatrix}
\]
但不能由此推出 $|A|\in (-6\varepsilon^3, 6\varepsilon^3)$. 事实上, $|A|$ 是平行六面体的体积(带符号的). 于是当三个向量互相正交时, 体积达到最大.
\[
|A|\in(-2\sqrt{3}\varepsilon^3, 2\sqrt{3}\varepsilon^3).
\]
$f$ 为连续的闭映射当且仅当 $\forall A\subset X$, $\overline{f(A)}=f(\bar{A})$.