对于 $\pi_n(X,x_0)$ 中的元素, $\alpha=[f]$, $f$ 是定义在球 $B^n$ 上的映射, 通过映射的复合(juxtaposition)可以定义 $\pi_n(X,x_0)$ 上的一个群结构, 且满足

\[
\|\gamma\delta\|^{\frac{1}{n}}\leqslant\|\gamma\|^{\frac{1}{n}}+\|\delta\|^{\frac{1}{n}},\quad\forall\ \gamma,\delta\in\pi_n(X,x_0).
\]

证明: 设 $a,b$ 是两个固定的实数, 使得 $a > \|\gamma\|$, $b > \|\delta\|$. 则同伦类 $\gamma$ 和 $\delta$ 可分别用定义在半径为 $a^{\frac{1}{n}}$ 和 $b^{\frac{1}{n}}$ 的球上的最短映射 $f$ 和 $g$ 代表. $f$ 和 $g$ 将这两个球的边界映为点 $x_0$.

通过将这两个球并排(也就是外切)放在一个半径为 $c^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}$ 的球内, 并将 $f$ 和$g$ 扩充定义, 即将两个小球外部且在大球内的部分映为常值点 $x_0$, 我们得到一个代表 $\gamma\delta$ 的定义在半径为 $c^{\frac{1}{n}}$ 的球上的一个映射.

这证明了 $\|\gamma\delta\| > c$.

References

Mikhail Gromov, Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. (page 41.)

(整理中...)