辛流形 $(M,\omega)$ 上的近复结构 $J$ 称为 $\omega$-calibrated 的($\omega$-校准的, $J$ est "calibré" par $\omega$ ), 如果 $\omega$ 是 $J$ 不变的($J$-invariant), 并且对称双线性形式 $\omega(J\cdot,\cdot)$ 是正定的($J$-positive), 即

\[\omega(JX,JY)=\omega(X,Y),\quad\omega(JV,V) > 0,\]

对任意的 $X,Y,V\in TM$, $V\neq 0$ 都成立.

也可以表述为

\[
\omega[x](v,w)=\omega[x](J_x v, J_x w),\quad\omega[x](u,J_x u) > 0,
\]

对任意 $x\in M$, $v,w,u\in T_x M$, $u\neq 0$ 都成立.

Remark:

此时，我们也称 $\omega$ 是 $J$-相容的($J$-compatible), 或者近复结构 $J$ 关于辛形式 $\omega$ 是相适应的(La structure presque-complex $J$ est dite adaptée à la forme symplectique $\omega$. )

$M$ 上与 $\omega$ 相适应的近复结构 $J$ 的存在性是一个经典的结论（参见[2], Lecture 2）

References:

[1] P. Delanoë, Sur L'analogue presque-complexe de l'equation de Calabi-Yau. Osaka J. Math. 33 (1996), 829-846.

[2] A. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds, American Math. Society 1977 (CBMS regional conference series in math. #29).