Hamilton 四元数的单位 $\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k$ 在乘法下组成一个 8 阶群, 叫做四元数群, 记为 $Q_8$. 其中元素的乘法满足

\[ i^2=j^2=k^2=-1,\quad ij=k=-ji,\quad jk=i=-kj,\quad ki=j=-ik. \tag{1}\]

若令 $i=a,j=b$, 则 $Q_8=\langle a,b\rangle$, 且满足

\[ a^4=1,\quad b^2=a^2,\quad b^{-1}ab=a^{-1}, \]

这就是 $Q_8$ 的定义关系.

Remark 1. $b^{-1}=b^3=j^3=-j$, $a^{-1}=-a$, 所以 $b^{-1}ab=a^{-1}$ 实际上就是 $-jij=-i$. 此式连同 $i^2=j^2$, $i^4=j^4=1$ 表示了四元数的所有关系.

Remark 2. 四元数是指集合

\[
\mathbb{H}=\{a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k\mid a_i\in\mathbb{R}, i=0,1,2,3\}
\]

中的元素. $\mathbb{H}$ 是一个 4 维实线性空间. $\{1,i,j,k\}$ 是 $\mathbb{H}$ 的一个基(一般称为一组基).

Remark 3. 若在 $\mathbb{H}$ 中引入上面的乘法, 即

\[i^2=j^2=k^2=-1,\quad ij=k=-ji,\]

则 $(\mathbb{H},+,\cdot,1)$ 成为一个代数. (容易验证 $jk=i=-kj$, $ki=j=-ik$, $ijk=-1$.) 而且 $(\mathbb{H},+,\cdot,1)$ 还是一个结合代数, 并且关于乘法不可交换.

四元数的自同构群实际上是 $S_4$, 参见问题357.

四元数的更多内容参见问题1019.