[Def]完全单调函数
函数 $f(x)$ 称为是区间 $I$ 上的完全单调函数(completely monotonic function), 如果它的各阶导数满足
\[(-1)^n f^{(n)}(x)\geqslant 0,\quad(\forall\ x\in I, n=0,1,2,\ldots)\]
若不等号是严格大于的, 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是严格完全单调的.
类似的, 可定义所谓的对数完全单调函数.
函数 $f(x)$ 称为是区间 $I$ 上的对数完全单调函数(logarithmically completely monotonic function), 如果它取对数后, 各阶导数满足
\[(-1)^n [\ln f(x)]^{(n)}\geqslant 0,\quad(\forall\ x\in I, n=0,1,2,\ldots)\]
若不等号是严格大于的, 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是严格对数完全单调的.
References
Chao-Ping Chen & Feng Qi, Completely monotonic function associated with the gamma functions and proof of Wallis\' inequality. Tamkang Journal of Mathematics, Vol. 36, No. 4, 303--307, Winter 2005.