差分方程模型
差分方程模型
对一数列 $\{a_n\}$, 把数列中的 $a_n$ 和前面的 $a_i$($0\leqslant i < n$) 关联起来的方程叫做差分方程, 差分方程也叫递推关系.
汉诺塔(Hanoi)问题
$n$ 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 $A$ 上, 大的在下, 小的在上. 现要将此 $n$ 个盘移到空桩 $B$ 或 $C$ 上, 但要求一次只能移动一个盘, 且移动过程中始终保持大盘在下, 小盘在上. 移动过程中桩 $A$ 也可利用. 设移动 $n$ 个盘的次数为 $a_n$, 试建立关于 $a_n$ 的差分方程.
解.
先将 $A$ 上的 $n-1$ 个盘按题设要求移到 $C$ 上, 这需要移动 $a_{n-1}$ 次, 再将 $A$ 上的最大盘移到 $B$ 上, 这需要移动一次, 最后将 $C$ 上的 $n-1$ 个盘按要求移到 $B$ 上, 这又需移动 $a_{n-1}$ 次. 于是得到差分方程:
\[
\begin{cases}
a_n=2a_{n-1}+1,\\
a_1=1.
\end{cases}
\]
可以证明:
\[
a_n=2^{n-1}(a_1+1)-1.
\]