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分析 >> 数学分析 >> 定积分
Questions in category: 定积分 (Definite Integral).

1

计算概率积分 $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.

Posted by haifeng on 2018-05-24 17:59:57 last update 2018-05-24 18:17:32 | Answers (1)

计算概率积分

\[\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\]

 

称其为概率积分的原因是: 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的分布密度函数为

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x\in(-\infty,+\infty),\quad\sigma > 0.
\]

 


[Hint]

令 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, 则 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}dy$. 然后计算 $I^2$. 将直角坐标系转换为极坐标系.



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