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数论 >> 一般数论 >> 初等数论
Questions in category: 初等数论 (Elementary Number Theory).

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证明 $\sum_{i=1}^{+\infty}\log(1+\frac{1}{p_i-1})$ 发散.

Posted by haifeng on 2015-11-11 20:58:12 last update 2015-11-11 21:14:28 | Answers (0)

证明 

\[\sum_{i=1}^{+\infty}\log(1+\frac{1}{p_i-1})\] 

发散. 其中 $p_i$ 是指第 $i$ 个素数.


[Hint]

根据 $\log(1+x)$ 的 Taylor 展式

\[
\log(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\cdots,
\]

可得

\[
\frac{1}{p} < \log(1+\frac{1}{p-1}) < \frac{1}{p-1}.
\]

而素数的倒数和 $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i}$ 是发散的.

 



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