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拓扑 >> 代数拓扑 >> 纽结理论
Questions in category: 纽结理论 (Knot theory).

1

关于纽结的 Jones 多项式

Posted by haifeng on 2014-03-25 21:13:29 last update 2014-03-25 23:24:18 | Answers (0)

Fivebranes and Knots

Edward Witten

arxiv:1101.3216v2

 

三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ (或三维球面 $S^3$) 中纽结 $K$ 的 Jones 多项式是指一个含单变量 $q$ 的 Laurent 多项式 $\mathcal{J}(q; K)$. 这个多项式中的系数均为整数.

Jones 多项式以及它的许多推广(仍是整系数的 Laurent 多项式)可以用不同方式从2维数学物理中构造. 主要包括 lattice statistical mechanics, Yang-Baxter 方程, conformal field theory, 以及辫子群表示(braid group representations). 这些构造对于计算纽结多项式, 展示它们的拓扑不变性以及证明它们实际上是整系数的 Laurent 多项式是非常有效的.

然而, 这种构造并没有使得 Jones 多项式的三维对称性更显而易见. 为此, 具有 Chern-Simons 作用[9-11]的三维量子 gauge 理论被证实是有用的. 三维流形 $W$ 上的关于某个 gauge 理论(gauge 群为 $G$, gauge field 为 $A$)的 Chern-Simons 作用可被写为

\[
I=\frac{k}{4\pi}\int_W\text{Tr}\biggl(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A\biggr),
\]

这里 $k$ 是拓扑相关的一个整数; 在选择一个合适的定向之下, 可以取 $k$ 为正整数. 在这个理论中, 对于可定向嵌入的圈 $K\subset W$ 和 $G$ 的表示 $R$, 我们可以关联一个可观测变量, holonomy 或 Wilson loop operator 的 trace:

\[
\mathcal{W}(K,R)=\text{Tr}_R P\exp\oint_K A.
\]

反转 $K$ 的定向与将 $R$ 换成它的复共轭, 效果是相同的. [12] 中



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