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分析 >> 微分方程 >> 偏微分方程
Questions in category: 偏微分方程 (Partial Differential Equations).

[Def]$k$-阶偏微分方程

Posted by haifeng on 2012-08-06 21:36:45 last update 2012-08-06 21:49:44 | Answers (0)


形如

\[F(D^k u(x),D^{k-1}u(x),\ldots,Du(x),u(x),x)=0,\quad(x\in U)\]

的式子称为一个 $k$-阶偏微分方程(partial differential equation), 这里

\[F:\mathbb{R}^{n^k}\times\mathbb{R}^{n^{k-1}}\times\cdots\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\times U\rightarrow\mathbb{R}\]

是给定的函数, 而 $u:\ U\rightarrow\mathbb{R}$ 是未知的, 要求的函数.


从 $F$ 的形式给出下面的一些分类.

(i) 线性偏微分方程

\[\sum_{|\alpha|\leqslant k}a_\alpha (x)D^\alpha u=f(x)\]

当 $f\equiv 0$ 时, 称它是齐性的.

(ii) 半线性 PDE