一个 Hausdorff 空间 $X$, 如果每一点都有一个开邻域与 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 的一个开子集同胚, 就叫 $X$ 为 $n$ 维拓扑流形, 简称流形.

拓扑流形再加上微分结构就称为微分流形. 也就是说, 除了上面的“局部欧氏化”, 还必须满足任两个相交的可欧氏化的开邻域, 其相交部分在两个同胚映射下的转换映射是 $C^r$ 可微的. 即

若 $\varphi: U\rightarrow\varphi(U)\subset\mathbb{E}^n$, $\psi:V\rightarrow\psi(V)\subset\mathbb{E}^n$ 是同胚映射. 则要求

\[
\begin{split}
\psi\circ\varphi^{-1}:&\ \varphi(U\cap V)\rightarrow\psi(U\cap V)\\
\varphi\circ\psi^{-1}:&\ \psi(U\cap V)\rightarrow\varphi(U\cap V)\\
\end{split}
\]

均是 $C^r$ 可微映射.

更严谨的表述要引入图卡和图汇的概念. 设 $M$ 是一个拓扑流形,

[Def 图卡(chart)]上面的 $U$ 连同对应的同胚映射 $\varphi$ 记为 $(U,\varphi)$ 即称为局部坐标图卡(简称图卡).

[Def $C^r$-相容] 各图卡之间如果相交, 相交部分的转换映射是 $C^r$ 的, 则称这两个图卡是 $C^r$-相容的.

[Def 图汇(atlas)] $M$ 的一族图卡 $\mathcal{D}=\{(U,\varphi)\}$ 如果这些开集 $\{U\}$ 覆盖了 $M$, 并且图卡彼此之间是 ($C^r$-)相容的, 则 $\mathcal{D}$ 被称为 $M$ 的一个($C^r$-)图汇.

[Def $C^r$-微分结构] 如果上面的图汇 $\mathcal{D}$ 是极大的, 也即与 $\mathcal{D}$ 中各图卡 $C^r$-相容的图卡均包含于 $\mathcal{D}$, 则称此图汇是 $M$ 的一个 $C^r$-微分结构.

具有 $C^r$-微分结构的拓扑流形称为 ($C^r$-)微分流形, $C^\infty$-流形又称为光滑流形.

证明:

(1) $n$ 维流形 $X$ 的每一点都有一个开邻域同胚于 $\mathbb{E}^n$.

(2) $n$ 维球面 $S^n$ 是 $n$ 维流形.

(3) $n$ 维射影空间 $\mathbb{P}^n$ (或记为 $\mathbb{RP}^n$) 也是 $n$ 维流形.

(4) $\mathbb{R}^n$ 中所有通过原点的 $r$-维子空间构成的集合, 记为 $G(r,n)$. 通过赋予自然拓扑成为一个流形(称为Grassman 流形). 特别地, 当 $r=1$ 时, 即上面的射影空间. 而且 $\mathbb{RP}^2$ 与 $G(2,3)$ 是同胚的.

(5) Klein 瓶是 2 维流形.

(6) 若 $X$ 是 $n$ 维流形, $Y$ 为 $m$ 维流形, 则积空间 $X\times Y$ 为 $n+m$ 维流形. 从而柱面 $S^1\times\mathbb{E}^1$ 与环面 $S^1\times S^1$ 都是 2 维流形.

(7) 设 $X$ 是 $n$ 维流形, $Y$ 为拓扑空间, $f:X\rightarrow Y$ 连续, 则作为积空间 $X\times Y$ 的子空间 $f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ 是与 $X$ 同胚的 $n$ 维流形, 特别地, $X\times X$ 的对角线 $\mathrm{id}_X$ 是与 $X$ 同胚的 $n$ 维流形.

(8) 每个 $n$ 维流形都是局部紧的.

(9) 连通的 $n$ 维流形是道路连通的.

(10) $\mathbb{R}^n$ 以及 $\mathbb{R}^n$ 中的开集都是光滑流形. 更一般的, 任何光滑流形的开子集也是光滑流形.

References:

[1] 陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.160

[2] 张筑生 编著 《微分拓扑讲义》