问题

设 $a_i\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. 则

\[
\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n},
\]

等号成立当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$. 这个称为 AG 不等式. $\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}$ 称为 $\{a_i\}_{i=1}^{n}$ 这 $n$ 个数的几何平均; 而 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ 称为这 $n$ 个数的算术平均. 

若将上面不等式中的 $a_i$ 替换为 $\frac{1}{a_i}$, 则得到调和平均不等式:

\[
\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leqslant\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n},
\]

等号成立也是当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$.