万能变换是指令 $t=\tan\frac{x}{2}$, 从而三角函数 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ 可以变换为关于 $t$ 的有理函数,

\[
\begin{aligned}
\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\\
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\
\tan x=\frac{2t}{1-t^2}
\end{aligned}
\]

一般用于计算三角有理式的不定积分.

所谓有理函数是指两个多项式的商. 这里都是实系数多项式.

求不定积分

\[\int\arctan^2\theta\mathrm{d}\theta=\int(\arctan\theta)^2\mathrm{d}\theta,\]

或写成 $x$ 的形式

\[\int(\arctan x)^2\mathrm{d}x.\]

求不定积分 $\int\frac{\ln(1-\sqrt{1-x})}{x}\mathrm{d}x$.

\[
\int\frac{\ln(1-x)}{x}\mathrm{d}x,\qquad\int\frac{\ln(1+x)}{x}\mathrm{d}x
\]

\[
\int\frac{xe^x}{e^x-1}\mathrm{d}x,\qquad\int\frac{xe^x}{e^x+1}\mathrm{d}x
\]

求不定积分 $\int\frac{x}{e^x-A}\mathrm{d}x$, 这里 $A$ 是一常数. 例如:

\[
\int\frac{x}{e^x-1}\mathrm{d}x,\quad \int\frac{x}{e^x-2}\mathrm{d}x,\quad \int\frac{x}{e^x+1}\mathrm{d}x
\]

等等.

计算不定积分

\[
\int\frac{\ln t}{t-2}\mathrm{d}t
\]

求下列不定积分

$\displaystyle\int\frac{x^2}{1+\cos x}\mathrm{d}x$

$\displaystyle\int\frac{x^2}{\sin^2 x}\mathrm{d}x$

$\displaystyle\int\frac{4}{3+\cos 4x}\mathrm{d}x$

求不定积分

\[
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1+x^2}}
\]

[Hint] 令 $x=\frac{1}{t}$ 或 $x=\tan t$

P.167  习题 4.1

2. 求下列不定积分.

(6)    $\displaystyle\int(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx$

(15)    $\displaystyle\int\frac{1}{1+\cos 2x}dx$

(20)    $\displaystyle\int\sqrt{1+\sin 2x}dx$,    $x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

计算

\[\int\frac{1}{\sin^4(x)+\cos^4(x)}dx\]

References:

对三大数学软件 Mathematica 、Maple 、MATLAB 的小测试比较

https://blog.csdn.net/iteye_18800/article/details/82294214?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param

求不定积分

\[\int\frac{2(1-u)}{2u+u^2 e^{-u}}du\]

Note that

\[
\frac{2(1-u)}{2u+u^2 e^{-u}}=\frac{1}{u}-\frac{e^{-u}+2}{ue^{-u}+2}
\]