问题及解答

求不定积分

$$\int {\arctan }^2\theta \mathrm{d}\theta =\int (\arctan \theta {)}^2\mathrm{d}\theta ,$$

或写成 $x$ 的形式

$$\int (\arctan x{)}^2\mathrm{d}x.$$

令 $x=\arctan \theta$, 则 $\theta =\tan x$, 于是 

$$\begin{array}{rl}\int (\arctan \theta {)}^2\mathrm{d}\theta & =\int x^2\mathrm{d}\tan x=x^2\tan x-\int \tan x\mathrm{d}(x^2)\\ & =x^2\tan x-2\int x\tan x\mathrm{d}x\end{array}$$

利用通常的换元、分部积分都难以计算此不定积分, 于是尝试将被积函数的某一部分进行 Taylor 展开. 当然也可以尝试使用复变函数中的围道积分(即利用留数定理).

但是 $\tan x$ 的 Taylor 展开是比较困难的, 涉及Bernoulli 数. (下面的公式参见 OEIS-A000182)

$$\tan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}{x}^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ 

其中

$$a_n=\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2n},$$

$B_n$ 为 Bernoulli 数.

我们写出其前几项

$$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots$$

Remark: 关于 $\tan x$ 的高阶导数, 见问题2582 .

$\arctan x$ 的展开式为

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$$

这里 $x\in [-1,1]$.  (关于 $\arctan x$ 的高阶导数, 见问题2383, 2385, 2409, 2584.)

于是

$$\begin{array}{rl}(\arctan x{)}^2& =(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots )\cdot (x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots )\\ & =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{5}-\frac{x^8}{7}+\frac{x^{10}}{9}-\frac{x^{12}}{11}+\cdots \\ & -\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{9}-\frac{x^8}{3\cdot 5}+\frac{x^{10}}{3\cdot 7}-\frac{x^{12}}{3\cdot 9}+\cdots \\ & +\frac{x^6}{5}-\frac{x^8}{5\cdot 3}+\frac{x^{10}}{5\cdot 5}-\frac{x^{12}}{5\cdot 7}+\cdots \\ & -\frac{x^8}{7}+\frac{x^{10}}{7\cdot 3}-\frac{x^{12}}{7\cdot 5}+\cdots \\ & =x^2-\frac{2}{3}{x}^4+(\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 1})x^6-(\frac{1}{1\cdot 7}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 3}+\frac{1}{7\cdot 1})x^8\\ & +(\frac{1}{1\cdot 9}+\frac{1}{3\cdot 7}+\frac{1}{5\cdot 5}+\frac{1}{7\cdot 3}+\frac{1}{9\cdot 1})x^{10}+\cdots \end{array}$$

这里 $x^{2m}$ 的系数为

$$\sum _{n=1}^m\frac{1}{(2n-1)(2m-(2n-1))}$$

例如, 当 $m=4$ 时, $x^8$ 的系数为

$$\sum _{n=1}^4\frac{1}{(2n-1)(9-2n)}$$

利用 Calculator 计算,

>> sum(1/((2*n-1)*(9-2*n)),n,1,4)
in> sum(1/((2*n-1)*(9-2*n)),n,1,4)
44|105
------------------------

因此,

$$(\arctan x{)}^2=x^2-\frac{2}{3}{x}^4+\frac{23}{45}{x}^6-\frac{44}{105}{x}^8+\frac{563}{1575}{x}^{10}-\frac{3254}{10395}{x}^{12}+\frac{88069}{315315}{x}^{14}-\frac{11384}{45045}{x}^{16}+\frac{1593269}{6891885}{x}^{18}+\cdots$$

======================================

附计算

Switch into fraction calculating mode.
e.g., 1/2+1/3 will return 5/6

>> in> sum(1/((2*n-1)*(7-2*n)),n,1,3)
23|45                        (23 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(9-2*n)),n,1,4)
44|105
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(11-2*n)),n,1,5)
563|1575                    (563 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(13-2*n)),n,1,6)
3254|10395
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(15-2*n)),n,1,7)
88069|315315            (88069 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(17-2*n)),n,1,8)
11384|45045
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(19-2*n)),n,1,9)
1593269|6891885      (1593269 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(21-2*n)),n,1,10)
15518938|72747675
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(23-2*n)),n,1,11)
31730711|160044885            (31730711 is NOT a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(25-2*n)),n,1,12)
186088972|1003917915
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(27-2*n)),n,1,13)
3788707301|21751554825
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(29-2*n)),n,1,14)
5776016314|35137127025
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(31-2*n)),n,1,15)
340028535787|2183521465125
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(33-2*n)),n,1,16)
667903294192|4512611027925
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(35-2*n)),n,1,17)
10823198495797|76714387474725
------------------------