求 $y=\arctan x$ 的高阶导数
设 $f(x)=\arctan x$, 求 $f^{(n)}(x)$. (参见[1] 例4.2.10)
解: 记 $y=\arctan x$, 则 $x=\tan y$, 从而
\[
y'=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2 y=\cos y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})
\]
两边对 $x$ 求导, 得
\[
\begin{split}
y''&=\big[-\sin y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos(y+\frac{\pi}{2})\big]\cdot y'\\
&=\cos(2y+\frac{\pi}{2})\cdot\cos^2 y\\
&=\cos^2 y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2}).
\end{split}
\]
继续对 $x$ 求导, 用归纳法可以发现,
\[
f^{(n)}(x)=y^{(n)}=(n-1)!\cos^n y\cdot\sin\bigl[n(y+\frac{\pi}{2})\bigr].
\]
请完成证明.
特别地, 当 $x=0$ 时, $y=0$, 故
\[
f^{(n)}(0)=(n-1)!\cdot(\cos 0)^n\cdot\sin\frac{n\pi}{2}=\begin{cases}
(n-1)! & n=4k+1,\\
0 & n=2k,\\
-(n-1)! & n=4k+3.
\end{cases}
\]
由此, 得到 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开 (或 Taylor 公式, 也称 MacLaurin 展开公式):
\[
x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots
\]
其 Lagrange 余项为
\[
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-0)^{n+1}=\frac{n!\cos^{n+1}y(\xi)\cdot\sin\bigl[(n+1)(y(\xi)+\frac{\pi}{2})\bigr]}{(n+1)!}x^{n+1},
\]
从而
\[
|R_n(x)|\leqslant\frac{|x|^{n+1}}{n+1}\rightarrow 0\quad(n\rightarrow\infty).
\]
因此,
\[
\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots,\quad\forall\ x\in(-\infty,+\infty).
\]
特别地, 令 $x=1$, 得
\[
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}.
\]
References:
[1] 梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社