定义. 设 $A\subset\mathbb{R}^2$ 为平面点集. 如果任给 $\varepsilon>0$, 存在至多可数个闭矩形
\[
I_{i},\quad i=1,2,\ldots,
\]
使得
\[
A\subset\bigcup_{i\geqslant 1}I_i,\quad\text{且}\quad\sum_{i\geqslant 1}v(I_i)<\varepsilon,
\]
则称 $A$ 为零测集.

定义. 设 $A\subset\mathbb{R}^2$ 为平面点集. 如果任给 $\varepsilon>0$, 存在有限个闭矩形:
\[
I_i,\ i=1,2,\ldots,n,
\]
使得
\[
A\subset\bigcup_{i=1}^{n}I_i,\quad\text{且}\quad\sum_{i=1}^{n}v(I_i) < \varepsilon,
\]
则称 $A$ 为零面积集.

显然, 零面积集是零测集. 

定理. (达布) 设 $f$ 为 $\mathbb{I}=[a,b]\times[c,d]$ 上的有界函数, 则
\[
\lim_{\|\pi\|\rightarrow 0}S(\pi)=\inf_{\pi}S(\pi),\quad\lim_{\|\pi\|\rightarrow 0}s(\pi)=\sup_{\pi}s(\pi).
\]

这里 $S(\pi)$ 和 $s(\pi)$ 分别是 $f$ 在分割 $\pi$ 下的达布上和与达布下和, 具体见问题3536.

设 $f$ 是 $\mathbb{I}=[a,b]\times[c,d]$ 上的有界函数. 与一元函数类似, 下面引入达布上和、达布下和与振幅的概念.

记 $M_{ij}=\sup_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)$, $m_{ij}=\inf_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)$, 并令
\[
S(\pi)=S(\pi,f)=\sum_{i,j}M_{ij}v(\mathbb{I}_{ij}),\quad s(\pi)=s(\pi,f)=\sum_{i,j}m_{ij}v(\mathbb{I}_{ij}),
\]
这里 $v(\mathbb{I}_{ij})$ 是分割中第 $(i,j)$ 个小矩形的面积. $S(\pi)$ 和 $s(\pi)$ 分别称为 $f$ 关于分割 $\pi$ 的 Darboux 上和与 Darboux 下和. 称
\[
\omega_{ij}=M_{ij}-m_{ij}=\sup_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)-\inf_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)
\]
为 $f$ 在小矩形 $\mathbb{I}_{ij}$ 上的振幅. $f$ 的上和与下和之差可以表示为
\[
S(\pi)-s(\pi)=\sum_{i,j}\omega_{ij}v(\mathbb{I}_{ij}).
\]

定义. 如果 $[a,b]$ 的分割 $\pi'_1$ 是由 $\pi_1$ 通过添加分点得到, $[c,d]$ 的分割 $\pi'_2$ 是由 $\pi_2$ 通过添加分点得到, 则称 $[a,b]\times[c,d]$ 的分割 $\pi'=\pi'_1\times\pi'_2$ 是 $\pi=\pi_1\times\pi_2$ 的一个加细.
 

对于矩形区域 $\mathbb{I}=[a,b]\times [c,d]$ 的加细分割, 证明下面的命题.

命题. 如果 $\pi'$ 是 $\pi$ 的加细, 则
\[
s(\pi)\leqslant s(\pi')\leqslant S(\pi')\leqslant S(\pi),
\]
即分割加细后下和不减, 上和不增.

其证明和一元函数完全类似. 

参考 [1] 命题13.1.1.

[1]  梅加强 编著 《数学分析》

设 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2\leqslant\frac{x^2}{x^5+y^2}\leqslant 5,\ 4\leqslant\frac{y}{x^5+y^2}\leqslant 7\}$, 求二重积分 $\displaystyle\iint_{D}\frac{1}{x^3 y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

设立体 $\Omega$ 由曲面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$, $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 及 $z=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}$ 围成, 该立体内任一点的密度与此点到 $z$ 轴距离之平方成正比(比例系数为正数 $k$), 求该立体的体积与质量.

设 $\Omega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=z$ 所围成的闭区域, 求 $\displaystyle\iiint_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

计算三重积分 $\displaystyle\iiint_{\Omega}\frac{1}{(1+x+y+z)^3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, 其中 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面所围成的闭区域.

计算二重积分

\[
\iint_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\mathrm{d}\sigma,
\]

其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0\}$.

利用“对称性”（积分区域的对称性以及函数的奇偶性）计算下列二重积分.

(2)  $\displaystyle\iint_{D}(5xy^2+3x^2 y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,  其中 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0\}$.

设 $f(x)$ 连续, 证明: $\int_0^1\mathrm{d}y\int_{0}^{\sqrt{y}}e^y f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1(e-e^{x^2})f(x)\mathrm{d}x$.