Questions in category: 重积分 (Multiple Integrals)

## 1. 利用球面坐标计算下列三重积分.

Posted by haifeng on 2024-05-18 12:57:15 last update 2024-05-18 12:57:15 | Answers (1) | 收藏

## 2. 利用柱坐标计算下列三重积分.

Posted by haifeng on 2024-05-18 12:33:51 last update 2024-05-18 12:33:51 | Answers (1) | 收藏

$\iiint_{\Omega}z\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}V$

## 3. 比较三个二重积分的大小

Posted by haifeng on 2022-04-20 09:22:54 last update 2022-04-20 09:28:42 | Answers (2) | 收藏

$M=\iint_{D}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$

$N=\iint_{D}\bigl[\ln(x^2+y^2)\bigr]^2\mathrm{d}\sigma,$

$P=\iint_{D}(x^2+y^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

Answer:   $N < M < P$.

Hint: we have the inequality $\ln(1+t) < t$ for $t > 0$.

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 4\}$, 那就只能手算了. 此时答案是:  $M < N < P$.

\begin{aligned} M&=\pi(8\ln 2-3),\\ N&=4\pi\bigl[4(\ln 2)^2-4\ln 2+\frac{3}{2}\bigr],\\ P&=\frac{9}{2}\pi. \end{aligned}

## 4. 二重积分不等式

Posted by haifeng on 2016-08-20 16:19:27 last update 2016-08-20 16:21:10 | Answers (0) | 收藏

$\iint_{[a,b]^2}\Bigl[f(x)g(y)-f(y)g(x)\Bigr]^2 dxdy \geqslant 0.$

$\biggl(\int_a^b f(x)g(x)dx\biggr)^2\leqslant\int_a^b f^2(x)dx\cdot\int_a^b g^2(x)dx$

## 5. 证明 $\int_a^b dx\int_a^x f(y)dy=\int_a^b f(x)(b-x)dx$.

Posted by haifeng on 2014-12-23 19:40:26 last update 2014-12-23 19:40:26 | Answers (1) | 收藏

$\int_a^b dx\int_a^x f(y)dy=\int_a^b f(x)(b-x)dx.$

## 6. 讨论下面二重积分的敛散性

Posted by haifeng on 2014-10-24 23:28:49 last update 2014-10-26 00:00:23 | Answers (0) | 收藏

$\iint_{x^2+y^2\geqslant 1}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}dxdy.$

Hint

$\int_A f=\int_A f^{+}-\int_A f^{-}.$

$\begin{split} \int_A f^{+}&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{A\cap B_k}f^{+}\\ &=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r^2}\cdot rdrd\theta\\ &=\lim_{k\rightarrow+\infty}2\pi\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r}dr. \end{split}$

## 7. 求曲面 $z=xy$ 和平面 $x+y+z=1$, $z=0$ 所围成区域的体积.

Posted by haifeng on 2014-09-10 15:37:31 last update 2014-09-10 15:37:31 | Answers (0) | 收藏

Remark. $z=xy$ 是双曲抛物面.

## 8. 计算三重积分 $\iiint_{V} zdV$

Posted by haifeng on 2014-08-30 20:34:22 last update 2014-08-30 20:34:22 | Answers (1) | 收藏

## 9. 设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)>0$, 利用二重积分证明

Posted by haifeng on 2012-06-04 13:26:56 last update 2023-08-23 09:14:22 | Answers (2) | 收藏

$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\int_a^b\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\geq (b-a)^2$

1) 使用重积分.

2) 应用几何不等式, 及积分的定义.

3) 应用 Hölder 不等式.

$1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}.$

$1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{(M+m)^2}{4Mm}(b-a)^2.$

References:

《大学数学竞赛指导》 国防科学技术大学大学数学竞赛指导组, 清华大学出版社. 2009年