设立体 $\Omega$ 由曲面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$, $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 及 $z=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}$ 围成, 该立体内任一点的密度与此点到 $z$ 轴距离之平方成正比(比例系数为正数 $k$), 求该立体的体积与质量.

设 $\Omega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=z$ 所围成的闭区域, 求 $\displaystyle\iiint_{\Omega}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$.

计算三重积分 $\displaystyle\iiint_{\Omega}\frac{1}{(1+x+y+z)^3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, 其中 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面所围成的闭区域.

计算二重积分

\[
\iint_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\mathrm{d}\sigma,
\]

其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0\}$.

利用“对称性”（积分区域的对称性以及函数的奇偶性）计算下列二重积分.

(2)  $\displaystyle\iint_{D}(5xy^2+3x^2 y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,  其中 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0\}$.

设 $f(x)$ 连续, 证明: $\int_0^1\mathrm{d}y\int_{0}^{\sqrt{y}}e^y f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1(e-e^{x^2})f(x)\mathrm{d}x$.

设 $f(x)\in C([-1,1])$, 证明

\[\iint\limits_D f(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-1}^{1}f(u)\mathrm{d}u,\]

其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|+|y|\leqslant 1\}$. 

计算 $\iiint_{\Omega}z\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}V$, 其中 $\Omega=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\leqslant 1, z\geqslant\sqrt{3(x^2+y^2)}\}$.

设 $\Omega$ 是由柱面 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 及平面 $z=0$, $z=1$, $y=0$ 所围成的闭区域, 求

\[
\iiint_{\Omega}z\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}V
\]

设 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 2\}$, 比较下面三个二重积分的大小

\[
M=\iint_{D}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,
\]

\[
N=\iint_{D}\bigl[\ln(x^2+y^2)\bigr]^2\mathrm{d}\sigma,
\]

\[
P=\iint_{D}(x^2+y^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.
\]

Answer:   $N < M < P$.

Hint: we have the inequality $\ln(1+t) < t$ for $t > 0$.

如果 $D$ 改为

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 4\}$, 那就只能手算了. 此时答案是:  $M < N < P$.

具体的, 

\[
\begin{aligned}
M&=\pi(8\ln 2-3),\\
N&=4\pi\bigl[4(\ln 2)^2-4\ln 2+\frac{3}{2}\bigr],\\
P&=\frac{9}{2}\pi.
\end{aligned}
\]