计算二重积分

\[
\iint_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\mathrm{d}\sigma,
\]

其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0\}$.

利用“对称性”（积分区域的对称性以及函数的奇偶性）计算下列二重积分.

(2)  $\displaystyle\iint_{D}(5xy^2+3x^2 y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,  其中 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant 1, x\geqslant 0\}$.

设 $f(x)$ 连续, 证明: $\int_0^1\mathrm{d}y\int_{0}^{\sqrt{y}}e^y f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1(e-e^{x^2})f(x)\mathrm{d}x$.

设 $f(x)\in C([-1,1])$, 证明

\[\iint\limits_D f(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-1}^{1}f(u)\mathrm{d}u,\]

其中 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|+|y|\leqslant 1\}$. 

计算 $\iiint_{\Omega}z\sqrt{x^2+y^2+z^2}\mathrm{d}V$, 其中 $\Omega=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\leqslant 1, z\geqslant\sqrt{3(x^2+y^2)}\}$.

设 $\Omega$ 是由柱面 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 及平面 $z=0$, $z=1$, $y=0$ 所围成的闭区域, 求

\[
\iiint_{\Omega}z\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}V
\]

设 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 2\}$, 比较下面三个二重积分的大小

\[
M=\iint_{D}\ln(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,
\]

\[
N=\iint_{D}\bigl[\ln(x^2+y^2)\bigr]^2\mathrm{d}\sigma,
\]

\[
P=\iint_{D}(x^2+y^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.
\]

Answer:   $N < M < P$.

Hint: we have the inequality $\ln(1+t) < t$ for $t > 0$.

如果 $D$ 改为

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\leqslant x^2+y^2\leqslant 4\}$, 那就只能手算了. 此时答案是:  $M < N < P$.

具体的, 

\[
\begin{aligned}
M&=\pi(8\ln 2-3),\\
N&=4\pi\bigl[4(\ln 2)^2-4\ln 2+\frac{3}{2}\bigr],\\
P&=\frac{9}{2}\pi.
\end{aligned}
\]

二重积分不等式

设 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上可积, 则有

\[
\iint_{[a,b]^2}\Bigl[f(x)g(y)-f(y)g(x)\Bigr]^2 dxdy \geqslant 0.
\]

利用二重积分不等式证明下面的 Cauchy-Schwarz 不等式

\[
\biggl(\int_a^b f(x)g(x)dx\biggr)^2\leqslant\int_a^b f^2(x)dx\cdot\int_a^b g^2(x)dx
\]

证明

\[\int_a^b dx\int_a^x f(y)dy=\int_a^b f(x)(b-x)dx.\]

\[
\iint_{x^2+y^2\geqslant 1}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}dxdy.
\]

Hint

令 $f(x,y)=\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}$, 记 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\geqslant 1\}$, 回忆广义二重积分的定义

\[
\int_A f=\int_A f^{+}-\int_A f^{-}.
\]

这里 $f^+=\max\{f,0\}$, $f^-=\max\{-f,0\}$. 因此 $f(x,y)$ 在 $A$ 上可积当且仅当 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 在 $A$ 上都可积. 从而等价于 $|f|$ 在 $A$ 上可积. ($|f|=f^{+}+f^{-}$)

令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, 则二重积分 $\int_A f^{+}$ 可写为

\[
\begin{split}
\int_A f^{+}&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{A\cap B_k}f^{+}\\
&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r^2}\cdot rdrd\theta\\
&=\lim_{k\rightarrow+\infty}2\pi\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r}dr.
\end{split}
\]

我们知道这是发散的, 具体参见 问题1387