求曲面 $z=xy$ 和平面 $x+y+z=1$, $z=0$ 所围成区域的体积.

Remark. $z=xy$ 是双曲抛物面.

计算三重积分 $\iiint_{V} zdV$, 其中 $V$ 为上半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 与旋转抛物面 $x^2+y^2=z$ 所围成的区域.

\[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\int_a^b\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\geq (b-a)^2\]

该题可以有好多种证法.

1) 使用重积分.

2) 应用几何不等式, 及积分的定义.

3) 应用 Hölder 不等式.

例题:

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $1\leqslant f(x)\leqslant 3$. 证明

\[
1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}.
\]

一般的, 若 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的正值连续函数, 且 $m\leqslant f(x)\leqslant M$, 则有所谓的康托罗维奇(Kantorovich)不等式:

\[
1\leqslant \int_0^1f(x)\mathrm{d}x\int_0^1\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant\frac{(M+m)^2}{4Mm}(b-a)^2.
\]

References:

《大学数学竞赛指导》 国防科学技术大学大学数学竞赛指导组, 清华大学出版社. 2009年