问题

设 $f(x)=o(1)$ $(x\rightarrow x_0)$, 证明当 $x\rightarrow x_0$ 时, 有如下等式:

(1)  $o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))$;

(2)  $o(cf(x))=o(f(x))$, 其中 $c$ 为非零常数.

(3)  $g(x)\cdot o(f(x))=o(f(x)g(x))$, 其中 $g(x)$ 为有界函数;

(4)  $[o(f(x))]^k=o(f^{k}(x))$; 其中 $k$ 为正整数;

(5)  $\dfrac{1}{1+f(x)}=1-f(x)+o(f(x))$.

注:  $o(f(x))$ 是指比 $f(x)$ 高阶的无穷小量集合.

\[
o(f(x))=\left\{g(x)\ :\ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=0\right\}.
\]