Questions in category: 极限 (Limit)
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1. 求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}$.

Posted by haifeng on 2021-05-19 09:04:21 last update 2021-05-19 09:08:34 | Answers (0) | 收藏


求极限

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}}{(x+a+b)^{2x+a+b}}.\]

 

 

 

 

题目来源:

伏龙芝军事学院大一需要掌握哪些数学

2. 求下列极限

Posted by haifeng on 2021-03-25 11:06:38 last update 2021-03-25 11:17:42 | Answers (2) | 收藏


(1)

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{\sin x^3}
\]

 

 

[Ans] $\frac{1}{4}$


(2) 

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{\frac{1}{1-\cos x}}
\]

 

3. 一些采用积分求极限的例子.

Posted by haifeng on 2021-01-05 19:41:17 last update 2021-01-05 19:41:32 | Answers (1) | 收藏


\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\Biggl[\frac{\cos^2\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\cos^2\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\cos^2\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{n}{n}}\Biggr]
\]

 

[分析] 碰到这种有 $n$ 项求和的极限, 一般使用夹逼准则或视为积分的近似和.

 

4. 求下列极限

Posted by haifeng on 2020-12-22 09:44:35 last update 2020-12-22 09:48:11 | Answers (1) | 收藏


1.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n^2}$

 

 

2.    $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\ln(n!)}{n}$

5. 证明下列极限

Posted by haifeng on 2020-12-22 07:34:10 last update 2020-12-22 09:41:35 | Answers (0) | 收藏


1.  设 $\alpha > 0$, $a > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{\alpha}}{a^n}=0$.

 

 

2.  设 $a > 0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$.

 

 

 

3.  求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$.

 

 

 


Remark:

第 3 题参见问题685 或 Wallis 公式(问题702)

 


References:

梅加强  编著  《数学分析》,  高等教育出版社.

6. 求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{k}-(n-1)^k}{n^{k-1}}$.

Posted by haifeng on 2020-10-30 13:45:12 last update 2020-10-30 13:45:12 | Answers (1) | 收藏


求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{k}-(n-1)^k}{n^{k-1}}$.

7. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{k+1}}(a_1+2^k a_2+\cdots+n^k a_n)$

Posted by haifeng on 2020-10-30 11:54:05 last update 2020-10-30 13:53:28 | Answers (1) | 收藏


设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, $k$ 为正整数, 则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{k+1}}(a_1+2^k a_2+\cdots+n^k a_n)=\frac{A}{k+1}.
\]

 

[Hint]

利用 Stolz 公式, 以及问题2595 .

 

References:

梅加强, 《数学分析》习题

8. 判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.

Posted by haifeng on 2020-10-28 21:11:28 last update 2020-10-28 21:11:28 | Answers (1) | 收藏


判断函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n\arctan(nx)}{\sqrt{n^2+n}}$ 是否连续. 若不连续, 指出间断点及其类型.

9. [Homework] 1.7

Posted by haifeng on 2020-10-12 17:26:23 last update 2020-10-12 19:58:06 | Answers (2) | 收藏


3. 设当 $x\rightarrow 0$ 时, $\sec x-\cos x$ 与 $\sqrt{a+x^n}-\sqrt{a}$ 是等价无穷小, 求常数 $a$ 与 $n$.

 


6. 利用等价无穷小代换法求下列极限:

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\ln(1-2x)}{1-\sec x}$

 

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x-\tan x}{x\ln(1+x^2)}$

 

(7)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x\ln\frac{x+1}{x}$

10. [Homework] 1.6

Posted by haifeng on 2020-10-12 12:12:27 last update 2020-10-12 15:18:00 | Answers (2) | 收藏


P. 44--45

4. 求下列极限

(4) $\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{2x-\pi}$

 

(5) $\lim\limits_{x\rightarrow\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi}$

 

(7) $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{x}{\sqrt{1-\cos x}}$

 


5. 求下列极限

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow 1}(3-2x)^{\frac{3}{x-1}}$

 

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x-2}\Bigr)^x$

 

(8)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\biggl(\frac{n^2+3}{n^2+1}\biggr)^{n^2}$

 

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