求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}n(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln 2)\]

[hint]

利用 Stolz 公式

设 $x_n > 0$, $\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)=x>0$. $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{y_n}{x_n}=a > 0$. 求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{x_n}\biggr)^{y_n}.
\]

求下面的极限

\[
\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^n}{e^t-1},\quad\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^n}{e^t-1}.
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\int_0^x\arctan(x-t)dt}{\sin(3x)\ln(1+2x)}
\]

证明:

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^{n+1}\cos\frac{\sqrt{2i-1}}{n}a^2=e^{-\frac{a^4}{2}}.
\]

Remark. 如果取对数, 则等价于

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n+1}\ln\cos\frac{\sqrt{2i-1}}{n}a^2=-\frac{a^4}{2}.
\]

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{6e^{-x^2}\sin x-x(6-7x^2)}{3\ln\frac{1+x}{1-x}-2x(3+x^2)}
\]

设 $a_{k}=\underbrace{111\cdots 1}$, 其中 1 的个数是 $k$ 个. 证明

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\times a_{n-1}}{a_n}=+\infty.
\]

设 $x\geqslant 0$, 证明

\[
\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}},
\]

其中 $\theta(x)$ 满足不等式 $\frac{1}{4}\leqslant\theta(x) < \frac{1}{2}$.

求

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}.\]

若令 $t=\frac{1}{x}$, 则题目变为

\[
\lim_{t\rightarrow\infty}t\Bigl[(1+\frac{1}{t})^t-e\Bigr]
\]

参见问题3238

类似的题目

求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n\biggl[e(1+\frac{1}{n})^{-n}-1\biggr]
\]

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl[\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}-\frac{x}{e}\biggr]
\]

设 $f(x)=nx(1-x)^n$, $n$ 为自然数, 求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\max_{x\in[0,1]}f(x).
\]