Questions in category: 极限 (Limit)
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11. 设 $x_1=\sqrt{6}$, $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

Posted by haifeng on 2023-10-20 21:06:44 last update 2023-10-20 21:07:12 | Answers (2) | 收藏


设 $x_1=\sqrt{6}$, $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

12. 设 $a,b$ 是常数, 满足 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1}=1$, 求 $a$ 和 $b$ 的值.

Posted by haifeng on 2023-10-14 09:15:35 last update 2023-10-14 09:15:35 | Answers (1) | 收藏


设 $a,b$ 是常数, 满足 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1}=1$, 求 $a$ 和 $b$ 的值.

13. 求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\dfrac{2x-4}{2x+1}\Bigr)^{2x}$.

Posted by haifeng on 2023-10-12 08:07:58 last update 2023-10-12 08:07:58 | Answers (1) | 收藏


求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\dfrac{2x-4}{2x+1}\Bigr)^{2x}$.

14. 求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sec x-\cos x}{x^2}$.

Posted by haifeng on 2023-10-11 23:28:21 last update 2023-10-11 23:28:21 | Answers (1) | 收藏


求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sec x-\cos x}{x^2}$.

15. 利用极限存在准则证明下列极限.

Posted by haifeng on 2023-10-11 19:23:42 last update 2023-10-11 19:24:05 | Answers (1) | 收藏


利用极限存在准则证明下列极限.

(1)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

 

 

 

(2)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\Bigr)$ 存在.

 

 

16. 利用极限的定义证明

Posted by haifeng on 2023-10-11 16:13:32 last update 2023-10-11 16:13:43 | Answers (1) | 收藏


利用极限的定义证明

(1)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x+1}{2x}=\dfrac{1}{2}$

 

 

(2)   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2$

17. 求下列极限

Posted by haifeng on 2023-10-10 10:55:19 last update 2023-10-10 10:55:19 | Answers (1) | 收藏


P.30  习题1.4

3. 求下列极限

(1)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\cos\dfrac{2}{x}$

(2)  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\sin n}{2^n}$

(3)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1+\cos x}{x}$

(4)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\arctan x}{x}$

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2x+1}$

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2-\sin x-\cos x}$

18. 求下列极限

Posted by haifeng on 2023-10-10 10:45:34 last update 2023-10-10 10:45:34 | Answers (1) | 收藏


求下列极限

 

(1)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}\Bigr)$

19. 求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+(2n)^2})$.

Posted by haifeng on 2023-03-18 09:04:43 last update 2023-03-18 09:04:43 | Answers (1) | 收藏


求极限

\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+(2n)^2})\]

20. 设 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}$, $x\geqslant 0$, 证明 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的连续函数.

Posted by haifeng on 2022-10-15 20:32:08 last update 2022-10-15 20:33:53 | Answers (1) | 收藏


$f(x)$ 是定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数, 具体为

\[f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n},\]

证明 $f(x)\in C([0,+\infty))$.

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