证明: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^x}=0$.
证明:
\[\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^x}=0.\]
证明:
\[\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{e^x}=0.\]
1
注意到 $x-1<[x]\leqslant x$, 故
\[
\frac{x}{e^x}<\frac{[x]+1}{e^x}\leqslant\frac{[x]+1}{e^{[x]}}
\]
因此只要证明
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{e^n}=0.
\]
而
\[
\frac{n}{e^n}<\frac{n}{2^n}.
\]
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n}{2^n}=0$ 的证明非常简单(见问题3351). 一般的, 对于 $\alpha>0$, $a>1$, 可证明
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{\alpha}}{a^n}=0.
\]
见问题2660.