问题

1.  设 $\alpha >0$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0$.

2.  设 $\alpha > 0$, $a > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{\alpha}}{a^n}=0$.

3.  设 $a > 0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$.

4.  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

5.  求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$.

Remark:

第 5 题参见问题685 或 Wallis 公式(问题702)

References:

梅加强  编著  《数学分析》,  高等教育出版社.