求矩阵 $A$ 的QR分解.

\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
2 & 1 & 2\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]

矩阵的QR分解

定理.  任意一个 $n$ 阶可逆实方阵 $A$ 均可表为一个实正交方阵 $O$ 和一个对角元全为正数的上三角方阵 $R$ 的乘积, 即 $A=OR$. 而且这种表法惟一.

QR分解中的Q实际上应该是指O, QR分解也可称为正交上三角分解.

参考 [1] P.439.

References

[1] 李炯生、查建国 编著 《线性代数》.  中国科学技术大学出版社.

定理[Levy-Desplanques]. 设 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是行或列主角占优方阵, 则 $\det A\neq 0$.

行主角占优（或行对角占优）是指 $A$ 满足 $|a_{ii}|>\sum_{j\neq i, j=1}^{n}|a_{ij}|$, $i=1,2,\ldots, n$.

见问题146

Gersgörin圆盘定理

定理[Gersgörin圆盘定理] 任意 $n$ 阶复方阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值一定落在复平面上 $n$ 个圆盘 $D_i$ ($i=1,2,\ldots,n$) 的并集内, 这里

\[D_i=\{z\in\mathbb{C} : |z-a_{ii}|\leqslant P_i\},\]

其中 $P_i=R_i-|a_{ii}|$, $R_i=\sum\limits_{j=1}^{n}|a_{ij}|$.

证明:  利用 Levy-Desplanques 定理.

参见 [1] P.342.

References:

[1]  李炯生、查建国 编著 《线性代数》.

(1)  $\vec{\alpha}_1=(1,2,-1)$,   $\vec{\alpha}_2=(4,-1,3)$,   $\vec{\alpha}_3=(6,3,1)$.

(2)   $\vec{\alpha}_1=(2,0,1)$,   $\vec{\alpha}_2=(1,3,5)$,   $\vec{\alpha}_3=(4,6,3)$. 

(3)

\[
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
0\\
5
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
3\\
0
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1\\
k
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\]

(4)

\[
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
-1\\
2
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
-1
\end{pmatrix},\quad
\vec{\alpha}_1=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
-2\\
3
\end{pmatrix}
\]

题目来自 [1] pp.116.

[1] 陈建华  主编  《线性代数》

 求正交变换 $X=QY$, 将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1 x_2+2x_1 x_3+2x_2 x_3$ 化为标准型.

20世纪第一个关于方阵特征值的界是由 Hirsch 于 1900 年给出的.

定理 (Hirsch) 设 $A=(a_{k\ell})_n$ 是 $n$ 阶复方阵. 记 $B=\frac{1}{2}(A+\bar{A}^T)=(b_{k\ell})_n$, $C=\frac{1}{2i}(A-\bar{A}^T)=(c_{k\ell})_n$, 其中 $i=\sqrt{-1}$, 且记

\[
\begin{aligned}
M_A=\max\{|a_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},\\
M_B=\max\{|b_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},\\
M_C=\max\{|c_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},
\end{aligned}
\]

其中 $|a_{k\ell}|$ 表示复数 $a_{k\ell}$ 的模. 设 $\lambda_0$ 是方阵 $A$ 的特征值, 则

\[
\lambda_0\leqslant nM_A,\quad |\mathrm{Re}\lambda_0|\leqslant nM_B,\quad |\mathrm{Im}\lambda_0|\leqslant nM_C,
\]

其中 $\mathrm{Re}\lambda_0$ 与 $\mathrm{Im}\lambda_0$ 分别是复数 $\lambda_0$ 的实部与虚部.

如果 $A$ 是实方阵, 则 $|\mathrm{Im}\lambda_0|\leqslant M_C\cdot\bigl(\frac{n(n-1)}{2}\bigr)^{1/2}$.

参见 [1]  P. 337

References:

[1] 李炯生, 查建国 编著 《线性代数》,  中国科学技术大学出版社.

证明: $n$ 阶多项式的根连续依赖于它的系数.

Remark:

题目来源于浙江大学某老师布置的题目.

设 $\Phi(t)$, $\Psi(t)$ 是方程组 $X'(t)=A(t)X(t)$ 的任意两个基解矩阵. 这里 $t\in[a,b]$. $X(t)$ 是一 $n\times n$ 矩阵, $A(t)$ 也是一 $n$ 阶方阵.

所谓基解矩阵是指: $\Phi(t)$ 满足此方程, 且 $\det\Phi(t)\neq 0$, $\forall\ t\in[a,b]$.

证明: 存在非奇异常数矩阵 $C$, 使得 $\Phi(t)\equiv\Psi(t)\cdot C$, $\forall\ t\in[a,b]$.

设 $p,q,r,s$ 是四个次数至多为 3 的多项式. 下面两条件中哪个能推出此四个多项式是线性相关的?

1.  每个多项式在 1 处取值 0.
2.  每个多项式在 0 处取值 1.

References:

Sp99  P.123