Questions in category: 线性代数 (Linear Algebra)
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1. 设 $p,q,r,s$ 是四个次数至多为 3 的多项式. 下面两条件中哪个能推出此四个多项式是线性相关的?

Posted by haifeng on 2020-12-02 13:35:32 last update 2020-12-02 13:35:32 | Answers (1) | 收藏


设 $p,q,r,s$ 是四个次数至多为 3 的多项式. 下面两条件中哪个能推出此四个多项式是线性相关的?

  1.  每个多项式在 1 处取值 0.
  2.  每个多项式在 0 处取值 1.

 

 

References:

Sp99  P.123

2. 设 $A$ 相似于对角矩阵, 求其中的常数 $a$, 以及可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.

Posted by haifeng on 2019-05-23 22:34:10 last update 2019-05-23 22:38:35 | Answers (0) | 收藏



\[
A=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0\\
8 & 2 & a\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\]

相似于对角矩阵, 求常数 $a$, 以及可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.

 


 先求出矩阵 $A$ 的特征值,

\[
|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2 & 0\\
-8 & \lambda-2 & -a\\
0 & 0 & \lambda-6
\end{vmatrix}=(\lambda-6)\cdot(-1)^{3+3}
\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2\\
-8 & \lambda-2
\end{vmatrix}=(\lambda-6)\bigl[(\lambda-2)^2-16\bigr]=0
\]

可得 $\lambda_1=\lambda_2=6$, $\lambda_3=-2$.

3. 将 $a^3+b^3+c^3-3abc$ 因式分解.

Posted by haifeng on 2018-10-04 07:33:17 last update 2018-10-04 07:33:17 | Answers (1) | 收藏


\[
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
\]

4. 设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵, 证明 $\|AB\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$.

Posted by haifeng on 2015-07-29 08:55:36 last update 2015-07-29 08:55:36 | Answers (0) | 收藏


设 $A,B\in M(n,\mathbb{R})$, 证明 $\|AB\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$.

5. 求矩阵的 $n$ 次方

Posted by haifeng on 2014-10-12 12:03:19 last update 2014-10-12 12:04:43 | Answers (1) | 收藏


\[A=
\begin{pmatrix}
1 & \lambda\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

求 $A^n$.


当然这个问题其实很简单, 只要用数学归纳法就可以证明了. 事实上

\[
A^n=
\begin{pmatrix}
1 & n\lambda\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

请问: 是否有其他的方法或解释?

6. 设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.

Posted by haifeng on 2014-09-22 09:42:43 last update 2014-09-22 09:42:43 | Answers (1) | 收藏


设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.

这里 $I$ 指 $n$ 阶单位矩阵.

7. Lem(Szaraki-wazewski)

Posted by haifeng on 2014-09-19 00:18:43 last update 2014-09-19 00:20:56 | Answers (1) | 收藏


Lem(Szaraki-wazewski). 设 $A,B$ 为同阶实方阵. 证明

\[
\begin{vmatrix}
\lambda I-A & B\\
-B & \lambda I-A
\end{vmatrix}=
|\lambda I-(A+iB)|\cdot |\lambda I-(A-iB)|.
\]


这个引理有一个很好的应用, 就是令 $\lambda=0$ 且 $A$ 写为 $-A$ 时, 得到

\[
\begin{vmatrix}
A & B\\
-B & A
\end{vmatrix}=
|A-iB|\cdot |A+iB|.
\]

8. 设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵, 证明 $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})$.

Posted by haifeng on 2014-02-13 09:05:47 last update 2014-02-13 09:05:47 | Answers (1) | 收藏


设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵, 证明 $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})$.

9. 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 若存在 $X$ 使得 $e^X=A$, 则有 $\det(A)=e^{\text{tr}(X)}$.

Posted by haifeng on 2013-07-06 09:54:23 last update 2017-04-09 10:17:23 | Answers (1) | 收藏


设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 若存在 $X$ 使得 $e^X=A$, 则 $\det(A)=e^{\text{tr}(X)}$. 从而 $A$ 必须是可逆的.
 

10. 证明 $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\vec{c}$

Posted by haifeng on 2013-06-26 18:37:07 last update 2013-06-26 23:15:38 | Answers (4) | 收藏


设 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的三个向量, 证明:

\[
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\langle\vec{a},\vec{c}\rangle\vec{b}-\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\vec{c}
\]


并有下面的推论

Cor1. 对3维欧氏空间中任意向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, 有

\[
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2\langle\vec{b},\vec{c}\rangle^2+|\vec{b}|^2\langle\vec{c},\vec{a}\rangle^2+|\vec{c}|^2\langle\vec{a},\vec{b}\rangle^2-2\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\langle\vec{b},\vec{c}\rangle\langle\vec{c},\vec{a}\rangle+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2
\]


该推论有明显的几何意义, 若设 $\alpha=\angle(\vec{a},\vec{b})$, $\beta=\angle(\vec{b},\vec{c})$, $\gamma=\angle(\vec{c},\vec{a})$, 则由上面的推论得

\[
|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2(\cos^2\beta+\cos^2\gamma+\cos^2\alpha)-2|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2.
\]

若 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 模长均为 1, 则有

Cor2.

\[
1=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+[\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})]^2
\]


当然, 特别的有

Cor3. 若 $\alpha=\beta+\gamma$, 则显然由这三个向量构成的平行六面体的体积为零. 从而有

\[
1=\cos^2(\beta+\gamma)+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos(\beta+\gamma)\cos\beta\cos\gamma
\]

当然这个恒等式可以直接验证.

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