Questions in category: 线性代数 (Linear Algebra)
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1. 求正交变换 $X=QY$, 将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1 x_2+2x_1 x_3+2x_2 x_3$ 化为标准型.

Posted by haifeng on 2021-08-28 09:11:53 last update 2021-08-28 09:11:53 | Answers (1) | 收藏


 求正交变换 $X=QY$, 将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1 x_2+2x_1 x_3+2x_2 x_3$ 化为标准型.

2. Hirsch 定理

Posted by haifeng on 2021-08-23 20:21:25 last update 2021-08-23 20:34:41 | Answers (0) | 收藏


20世纪第一个关于方阵特征值的界是由 Hirsch 于 1900 年给出的.

定理 (Hirsch) 设 $A=(a_{k\ell})_n$ 是 $n$ 阶复方阵. 记 $B=\frac{1}{2}(A+\bar{A}^T)=(b_{k\ell})_n$, $C=\frac{1}{2i}(A-\bar{A}^T)=(c_{k\ell})_n$, 其中 $i=\sqrt{-1}$, 且记

\[
\begin{aligned}
M_A=\max\{|a_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},\\
M_B=\max\{|b_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},\\
M_C=\max\{|c_{k\ell}|\ :\ 1\leqslant k,\ \ell\leqslant n\},
\end{aligned}
\]

其中 $|a_{k\ell}|$ 表示复数 $a_{k\ell}$ 的模. 设 $\lambda_0$ 是方阵 $A$ 的特征值, 则

\[
\lambda_0\leqslant nM_A,\quad |\mathrm{Re}\lambda_0|\leqslant nM_B,\quad |\mathrm{Im}\lambda_0|\leqslant nM_C,
\]

其中 $\mathrm{Re}\lambda_0$ 与 $\mathrm{Im}\lambda_0$ 分别是复数 $\lambda_0$ 的实部与虚部.

如果 $A$ 是实方阵, 则 $|\mathrm{Im}\lambda_0|\leqslant M_C\cdot\bigl(\frac{n(n-1)}{2}\bigr)^{1/2}$.

 

 

参见 [1]  P. 337

 

References:

[1] 李炯生, 查建国 编著 《线性代数》,  中国科学技术大学出版社.

3. 证明: $n$ 阶多项式的根连续依赖于它的系数.

Posted by haifeng on 2021-03-22 11:34:01 last update 2021-03-22 11:35:26 | Answers (0) | 收藏


证明: $n$ 阶多项式的根连续依赖于它的系数.

 

 


Remark:

题目来源于浙江大学某老师布置的题目.

4. 基解矩阵

Posted by haifeng on 2021-02-24 21:37:05 last update 2021-02-24 21:37:05 | Answers (1) | 收藏


设 $\Phi(t)$, $\Psi(t)$ 是方程组 $X'(t)=A(t)X(t)$ 的任意两个基解矩阵. 这里 $t\in[a,b]$. $X(t)$ 是一 $n\times n$ 矩阵, $A(t)$ 也是一 $n$ 阶方阵.

所谓基解矩阵是指: $\Phi(t)$ 满足此方程, 且 $\det\Phi(t)\neq 0$, $\forall\ t\in[a,b]$.

证明: 存在非奇异常数矩阵 $C$, 使得 $\Phi(t)\equiv\Psi(t)\cdot C$, $\forall\ t\in[a,b]$.

 

5. 设 $p,q,r,s$ 是四个次数至多为 3 的多项式. 下面两条件中哪个能推出此四个多项式是线性相关的?

Posted by haifeng on 2020-12-02 13:35:32 last update 2020-12-02 13:35:32 | Answers (1) | 收藏


设 $p,q,r,s$ 是四个次数至多为 3 的多项式. 下面两条件中哪个能推出此四个多项式是线性相关的?

  1.  每个多项式在 1 处取值 0.
  2.  每个多项式在 0 处取值 1.

 

 

References:

Sp99  P.123

6. 设 $A$ 相似于对角矩阵, 求其中的常数 $a$, 以及可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.

Posted by haifeng on 2019-05-23 22:34:10 last update 2019-05-23 22:38:35 | Answers (0) | 收藏



\[
A=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 0\\
8 & 2 & a\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\]

相似于对角矩阵, 求常数 $a$, 以及可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.

 


 先求出矩阵 $A$ 的特征值,

\[
|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2 & 0\\
-8 & \lambda-2 & -a\\
0 & 0 & \lambda-6
\end{vmatrix}=(\lambda-6)\cdot(-1)^{3+3}
\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -2\\
-8 & \lambda-2
\end{vmatrix}=(\lambda-6)\bigl[(\lambda-2)^2-16\bigr]=0
\]

可得 $\lambda_1=\lambda_2=6$, $\lambda_3=-2$.

7. 将 $a^3+b^3+c^3-3abc$ 因式分解.

Posted by haifeng on 2018-10-04 07:33:17 last update 2018-10-04 07:33:17 | Answers (1) | 收藏


\[
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
\]

8. 设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵, 证明 $\|AB\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$.

Posted by haifeng on 2015-07-29 08:55:36 last update 2015-07-29 08:55:36 | Answers (0) | 收藏


设 $A,B\in M(n,\mathbb{R})$, 证明 $\|AB\|\leqslant\|A\|\cdot\|B\|$.

9. 求矩阵的 $n$ 次方

Posted by haifeng on 2014-10-12 12:03:19 last update 2014-10-12 12:04:43 | Answers (1) | 收藏


\[A=
\begin{pmatrix}
1 & \lambda\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

求 $A^n$.


当然这个问题其实很简单, 只要用数学归纳法就可以证明了. 事实上

\[
A^n=
\begin{pmatrix}
1 & n\lambda\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

请问: 是否有其他的方法或解释?

10. 设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.

Posted by haifeng on 2014-09-22 09:42:43 last update 2014-09-22 09:42:43 | Answers (1) | 收藏


设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A=\frac{1}{2}(B+I)$, 证明 $A^2=A\Leftrightarrow B^2=I$.

这里 $I$ 指 $n$ 阶单位矩阵.

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