证明: 任意二阶酉方阵 $U$ 可分解为

\[
U=\begin{pmatrix}
e^{i\theta_1} & 0\\
0 & e^{i\theta_2}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos t & \sin t\\
-\sin t & \cos t\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^{i\theta_3} & 0\\
0 & e^{i\theta_4}\\
\end{pmatrix},
\]

其中 $\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4$ 和 $t$ 都是实数.

Remark:

利用此说明其中的单参数子群是怎样的, 有什么性质?

Reference:

李炯生、查建国 编著 《线性代数》，中国科技大学出版社，2005.  [P.538]

设 $a,b,c,d\in\mathbb{C}$, 定义 $\mathbb{C}^2$ 上的二元复值函数 $f(\alpha,\beta)$ 为

\[
f(\alpha,\beta)=ax_1\bar{y}_1+bx_2\bar{y}_1+cx_1\bar{y}_2+dx_2\bar{y}_2,
\]

这里 $\alpha=(x_1,x_2)$, $\beta=(y_1,y_2)\in\mathbb{C}^2$.

试确定 $a,b,c,d$, 使得 $f(\alpha,\beta)$ 是 $\mathbb{C}^2$ 上的一个内积.