问题及解答

设 $a,b,c,d\in\mathbb{C}$, 定义 $\mathbb{C}^2$ 上的二元复值函数 $f(\alpha,\beta)$ 为

\[
f(\alpha,\beta)=ax_1\bar{y}_1+bx_2\bar{y}_1+cx_1\bar{y}_2+dx_2\bar{y}_2,
\]

这里 $\alpha=(x_1,x_2)$, $\beta=(y_1,y_2)\in\mathbb{C}^2$.

试确定 $a,b,c,d$, 使得 $f(\alpha,\beta)$ 是 $\mathbb{C}^2$ 上的一个内积.

\[
\begin{split}
f(\alpha,\beta)&=ax_1\bar{y}_1+bx_2\bar{y}_1+cx_1\bar{y}_2+dx_2\bar{y}_2
&=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}
a & c\\
b & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bar{y}_1\\
\bar{y}_2\\
\end{pmatrix}\\
&=\alpha A\beta^*
\end{split}
\]
 

这里记 $A=\begin{pmatrix}
a & c\\
b & d\\
\end{pmatrix}$

$f(\alpha,\beta)$ 成为 $\mathbb{C}^2$ 上的一个内积, 必须满足三个条件:

1. Hermite 对称性, 即 $\overline{f(\alpha,\beta)}=f(\beta,\alpha)$.
2. 恒正性, 即对任意非零向量 $\alpha$, $f(\alpha,\alpha)>0$.
3. 共轭双线性性, 即
   \[
   \begin{aligned}
   f(\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2,\beta)&=\lambda_1f(\alpha_1,\beta)+\lambda_2f(\alpha_2,\beta),\\
   f(\alpha,\mu_1\beta_1+\mu_2\beta_2)&=\bar{\mu}_1f(\alpha,\beta_1)+\bar{\mu}_2f(\alpha,\beta_2).
   \end{aligned}
   \]

1.

\[\overline{f(\alpha,\beta)}=\overline{\alpha A\beta^*}=\overline{\alpha A\beta^*}^T=(\alpha A\beta^*)^*=\beta A^*\alpha^*,\quad f(\beta,\alpha)=\beta A\alpha^*\]

因此 $A=A^*$, 也即要求 $a,d\in\mathbb{R}$, 且 $c=\bar{b}$.

2.

\[
(x_1,x_2)\begin{pmatrix}
a & \bar{b}\\
b & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bar{x}_1\\
\bar{x}_2\\
\end{pmatrix}=a|x_1|^2+2\text{Re}(b\bar{x}_1 x_2)+d|x_2|^2
\]

特别的, 令 $(x_1,x_2)=(1,0)$, 推出 $a>0$; 若令 $(x_1,x_2)=(0,1)$, 则推出 $d>0$.

注意到

\[
\begin{split}
|\text{Re}(b\bar{x}_1 x_2)|&\leqslant |b\bar{x}_1x_2|=|b||x_1||x_2|=\frac{|b|}{\sqrt{ad}}\cdot|\sqrt{a}x_1||\sqrt{d}x_2|\\
&\leqslant\frac{|b|}{\sqrt{ad}}\cdot\frac{1}{2}\bigl(|\sqrt{a}x_1|^2+|\sqrt{d}x_2|^2\bigr)
\end{split}
\]

因此, 如果 $\sqrt{ad}\geqslant |b|$, 则一定推出

\[a|x_1|^2+d|x_2|^2\geqslant 2\text{Re}(b\bar{x}_1 x_2).\]

从而保证 $f(\alpha,\beta)$ 的恒正性.

3. 只要证明 $f(\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2,\beta)=\lambda_1f(\alpha_1,\beta)+\lambda_2f(\alpha_2,\beta)$, 因为共轭双线性性可以由此式和 Hermite 对称性推出.

  而这点是显然的.

\[f(\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2,\beta)=(\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2)A\beta^*=\lambda_1\alpha_1 A\beta^*+\lambda_2\alpha_2 A\beta^*\]