定理 (Cauchy-Schwarz 不等式). 对任意实数 $x_i$, $y_i$, $i=1,2,\ldots,n$, 都有下面的不等式

\[
(x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2).
\]

特别地, 令 $y_i=1$, $\forall\ i=1,2,\ldots,n$, 则我们得到

\[
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leqslant\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}.
\]

Cauchy-Schwarz 不等式最简单的证明是利用向量的内积. 令 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $\vec{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$, 则由

\[
\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}|\cdot|\vec{y}|\cdot\cos\angle(\vec{x},\vec{y})
\]

知 $\vec{x}\cdot\vec{y}\leqslant|\vec{x}|\cdot|\vec{y}|$.

证明: 对任意三个向量 $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$, $\vec{\gamma}$, 

\[
\vec{\alpha}\times(\vec{\beta}\times\vec{\gamma})+\vec{\beta}\times(\vec{\gamma}\times\vec{\alpha})+\vec{\gamma}\times(\vec{\alpha}\times\vec{\beta})=\vec{0}.
\]

设 $\ell_1$ 和 $\ell$ 是平面内两条相交直线, 方程分别为:

\[
\begin{aligned}
\ell_1: & A_1 x+B_1 y+C_1=0,\\
\ell: & Ax+By+C=0,
\end{aligned}
\]

求 $\ell_1$ 关于 $\ell$ 对称的直线的方程.

求平面上抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=x-2$ 之间的距离.

设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\in\mathbb{R}^3$, 证明:

\[
\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}
\]

注: 这是向量积的分配律.

求过点 $P(a,b,c)$ 且与直线 $\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}$ 垂直的平面方程.

已知 $a=(2,-1,-1)$, $b=(1,2,-1)$, 求 $c=a\times b$

\[
c=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
2 & -1 & -1\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}=
3i+j+5k
\]

>> A=[i,j,k;
A=[i,j,k;
2,-1,-1;
1,2,-1]
input> [i,j,k;2,-1,-1;1,2,-1]
det(A)=3*i+2*j+2*2*k-j+k
----------------------------
 type: matrix
 name: A
value:
i       j       k
2       -1      -1
1       2       -1

determinant: 3*i+2*j+2*2*k-j+k
--------------------

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^3$, 证明:

\[\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{b}+\vec{c})=\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{b})+\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{c}).\]

这里 $\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{b})$ 表示向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影.

求过点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ 且平行于直线 $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ 的直线方程.

所求直线为:

\[
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
\]

将此应用到图形编程中.

求曲面 $x^2+2y^2=2z$ 与曲面 $x+2y+z=1$ 的交线在 $xoy$ 平面上的投影所围区域的面积.

题目来源:

伏龙芝军事学院大一需要掌握哪些数学