求平面上抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=x-2$ 之间的距离.

设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\in\mathbb{R}^3$, 证明:

\[
\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}
\]

注: 这是向量积的分配律.

求过点 $P(a,b,c)$ 且与直线 $\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}$ 垂直的平面方程.

已知 $a=(2,-1,-1)$, $b=(1,2,-1)$, 求 $c=a\times b$

\[
c=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
2 & -1 & -1\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}=
3i+j+5k
\]

>> A=[i,j,k;
A=[i,j,k;
2,-1,-1;
1,2,-1]
input> [i,j,k;2,-1,-1;1,2,-1]
det(A)=3*i+2*j+2*2*k-j+k
----------------------------
 type: matrix
 name: A
value:
i       j       k
2       -1      -1
1       2       -1

determinant: 3*i+2*j+2*2*k-j+k
--------------------

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^3$, 证明:

\[\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{b}+\vec{c})=\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{b})+\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{c}).\]

这里 $\mathrm{Prj}_{\vec{a}}(\vec{b})$ 表示向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影.

求过点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ 且平行于直线 $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ 的直线方程.

所求直线为:

\[
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
\]

将此应用到图形编程中.

求曲面 $x^2+2y^2=2z$ 与曲面 $x+2y+z=1$ 的交线在 $xoy$ 平面上的投影所围区域的面积.

题目来源:

伏龙芝军事学院大一需要掌握哪些数学

设 $(x_0,y_0)$ 是二次曲线 $F(x,y)=0$ 上的一点, 求此曲线过点 $(x_0,y_0)$ 的切线方程.

设 $L_1$ 和 $L_2$ 是空间中两异面直线. 设在标准直角坐标系下直线 $L_1$ 过坐标为 $a$ 的点, 以单位向量 $v$ 为直线方向; 直线 $L_2$ 过坐标为 $b$ 的点, 以单位向量 $w$ 为直线方向.

(1) 证明: 存在唯一的点 $P\in L_1$ 和 $Q\in L_2$, 使得两点连线 $PQ$ 同时垂直于 $L_1$ 和 $L_2$.

(2) 求 $P$ 和 $Q$ 的坐标(用 $a,b,v,w$ 表示).

三维欧氏空间中, 设 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ 是三个彼此正交的单位向量. 不妨记

\[
\vec{a}_i=(x_1,x_2,x_3)^T,\quad i=1,2,3.
\]

证明 

\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2=1.
\]

[Hint] 这道题当然不难. 若记 $A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)$, 则 $A$ 是一个 3 阶正交矩阵. 其三个行向量当然也是彼此正交的单位向量.

有意思的是, 这道题可以不用矩阵的知识来理解.

考虑 $x$ 轴上的单位向量 $e_1=(1,0,0)$. 注意到两条相交直线上向量投影之间的关系(用到了全等三角形). 具体的,

$\vec{a}_i$ 在 $x$ 轴上的投影的长度等于 $e_1$ 在 $\vec{a}_i$ 所在直线上的投影之长度. 

于是 $e_1$ 在以 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ 为直接坐标系下的坐标为 $(x_1,x_2,x_3)$. 由于 $|e_1|=1$, 因此

\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2=1.
\]

另外两个类似证明, 只需考虑 $y,z$ 轴上的单位向量.

Remark:

不过要指出的是, 这个证明需要一个基础，就是三维空间中刚体变换保持范数.  所以严格说来，不算初等的证明。

使用矩阵还是最简单的，这三个向量构成的矩阵就是3阶正交矩阵。