Questions in category: 解析几何 (Cartesian geometry)
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11. 三个平面的位置关系

Posted by haifeng on 2015-08-31 16:52:51 last update 2015-08-31 16:52:51 | Answers (1) | 收藏


讨论三个平面

\[
\begin{aligned}
\pi_1:\ A_1 x+B_1 y+C_1 z=D_1,\\
\pi_2:\ A_2 x+B_2 y+C_2 z=D_2,\\
\pi_3:\ A_3 x+B_3 y+C_3 z=D_3,\\
\end{aligned}
\]

的位置关系, 画出图形, 并说明理由.

12. 直线和平面的位置关系

Posted by haifeng on 2015-08-31 15:47:50 last update 2015-08-31 15:47:50 | Answers (1) | 收藏


利用矩阵的秩, 讨论直线

\[
L:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\]

与平面 $\pi:\ Ax+By+Cz=D$ 的位置关系. 

13. 求旋转曲面的方程

Posted by haifeng on 2015-08-31 15:01:17 last update 2015-08-31 15:01:17 | Answers (1) | 收藏


求直线 $L:\ \frac{x}{a}=\frac{y-b}{0}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的曲面方程, 并指出它为何曲面, 其中 $a,b$ 为常数.

14. 在三维欧氏空间中给定 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$, 给定 $n$ 个实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, 适合 $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\neq 0$.

Posted by haifeng on 2015-08-27 16:25:13 last update 2015-08-27 17:36:14 | Answers (1) | 收藏


在三维欧氏空间中给定 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$, 给定 $n$ 个实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, 适合 $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\neq 0$. 

试证: 对任意点 $Q$, 在此空间中唯一存在与 $Q$ 无关的点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\overrightarrow{QA_i}=(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i)\overrightarrow{QP}.
\]


Hint.

令 $\mu_i=\frac{\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i}$, 则 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i=1$. 问题等价于找到点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\mu_i\overrightarrow{QA_i}=\overrightarrow{QP}.
\]


注: 此为第五届全国大学生数学夏令营(1991年7月)第一试试题

15. 求过给定四点的球面方程

Posted by haifeng on 2015-08-23 23:39:22 last update 2015-08-23 23:39:22 | Answers (1) | 收藏


已知四点 $A=(1,2,7)$, $B=(4,3,3)$, $C=(5,-1,6)$, $D=(\sqrt{7},\sqrt{7},0)$. 试求过这四点的球面方程.

16. 通过所经过的九个点, 判断二次曲面属于哪一类曲面

Posted by haifeng on 2015-08-23 23:33:15 last update 2015-08-23 23:33:15 | Answers (1) | 收藏


已知二次曲面 $\Sigma$ (非退化)过以下九点:

\[
\begin{aligned}
A(1,0,0),\quad B(1,1,2),\quad C(1,-1,-2),\\
D(3,0,0),\quad E(3,1,2),\quad F(3,-2,-4),\\
G(0,1,4),\quad H(3,-1,-2),\quad I(5,2\sqrt{2},8).
\end{aligned}
\]

问 $\Sigma$ 是哪一类曲面?

17. 求两直线的公垂线

Posted by haifeng on 2015-06-26 05:38:52 last update 2015-08-23 17:14:48 | Answers (1) | 收藏


设直线 $\ell_1$, $\ell_2$ 的方程分别为

\[
\ell_1:\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1},
\]

\[
\ell_2:\quad\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}.
\]

1) 证明 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 异面;

2) 求它们的公垂线方程;

3) 求连接 $\ell_1$ 上的任一点和 $\ell_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程.


 

注: 此为第六届中国大学生数学竞赛预赛题目(数学类 2014年10月)

18. 已知函数 $f(x)=e^x+ax$

Posted by haifeng on 2015-01-03 16:01:22 last update 2015-01-03 16:01:22 | Answers (1) | 收藏


已知函数 $f(x)=e^x+ax$.

(1) 设曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $x+(e-1)y=1$ 垂直, 求 $a$ 的值;

(2) 若对任意实数 $x\geqslant 0$, $f(x) > 0$ 恒成立. 确定实数 $a$ 的取值范围.

19. 求等距变换

Posted by haifeng on 2014-11-28 18:19:31 last update 2014-11-28 18:19:31 | Answers (2) | 收藏


在空间直角坐标系中, 求使原点不动, 并且将 $x$ 轴变成直线 $\frac{x}{\lambda}=\frac{y}{\mu}=\frac{z}{\nu}$ 的等距变换公式.

 

20. 椭球面与过坐标轴的平面所截的曲线是否可以是圆

Posted by haifeng on 2014-11-21 15:49:43 last update 2014-11-21 15:49:43 | Answers (1) | 收藏


椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与过坐标轴的平面所截的曲线是否可以是圆?

这里假设 $a > b > c$.

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