问题及解答

利用矩阵的秩, 讨论直线

\[
L:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\]

与平面 $\pi:\ Ax+By+Cz=D$ 的位置关系. 

直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的位置关系取决于线性方程组

\[
\left\{
\begin{aligned}
A_1x+B_1y+C_1z &=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z &=D_2,\\
Ax+By+Cz &=D
\end{aligned}
\right.
\]

解的情形.

设方程组的系数矩阵为 $A$, 增广矩阵为 $\bar{A}$, 则 $2\leqslant\mathrm{rank}(A)\leqslant\mathrm{rank}(\bar{A})\leqslant 3$. 因此只有下面三种情形:

(1) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=3$, 方程组只有唯一解, 等价于直线 $L$ 与平面 $\pi$ 相交于一点;

(2) $\mathrm{rank}(A)=2,\mathrm{rank}(\bar{A})=3$, 方程组无解, 等价于直线 $L$ 与平面 $\pi$ 平行;

(3) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})=2$, 方程组只有无穷多解, 等价于直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上.