设 $a_1=\frac{1}{2}$, $2na_{n+1}=(n+1)a_n$, 记 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$, 求 $S_n$.

题目来源:   用和不用北太天元做清华大学2018领军数学第24题的差别

(1)

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n(n+2)}
\]

求 $\prod_{n=3}^{\infty}\cos(\frac{\pi}{n})$

定理 (Dirichlet). 设数列 $\{a_n\}$ 单调趋于 0, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 的部分和有界, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛.

[Hint] 要证 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n$ 收敛, 由 Cauchy 收敛定理, 即要证明: 对任意给定的 $\varepsilon$, 存在 $N$, 当 $n > N$ 时, 对任意的正整数 $p$, 有

\[
\biggl|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_i b_i\biggr| < \varepsilon
\]

这里需要用到 Abel 变换及其推论.

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

[Hint] 令 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$, $b_n=\sin n$, 使用 Dirichlet 判别法.

此外, 也可以考虑转换为反常积分.

\[
\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x
\]

关于 $\int_0^{+\infty}\sin x^2\mathrm{d}x$ 的计算需要使用复变函数的知识, 见问题2596 .

设 $a_1=1$, $a_2=\sin a_1=\sin 1$, $a_3=\sin a_2=\sin(\sin 1)$. 一般的, 定义 $a_{n+1}=\sin a_n$, $n=1,2,3,\ldots$.

判定下列级数的敛散性:

(1)  $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln(1+a_n)$.

(2)  $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})^2$

将函数 $f(x)=\ln(2+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数.

将 $\ln(1+x)$ 展开成 $x$ 的级数.

\[
\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots,
\]

即

\[
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},
\]

收敛域为 $(-1,1]$.

判断级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2 n}\]

的敛散性.

Remark:

这个级数被称为弗林特 希尔斯级数 (Flint Hills series).  目前尚未确定其敛散性.

问题来自多塔数学网.

$(1+x)^{\alpha}$ 的 Taylor 展开式.  指将其展开成 $x$ 的幂级数.

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\bigl(\alpha-(n-1)\bigr)}{n!}x^n+\cdots
\]

这里 $x\in(-1,1)$.  如果记

\[\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\bigl(\alpha-(n-1)\bigr)}{n!},\]

则可以简记为

\[
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n.
\]

特别的, 令 $\alpha=\frac{1}{2}$, 则得到 $\sqrt{1+x}$ 的 Taylor 展开式.

\[
\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2\cdot 4}x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4+\cdots
\]

这里 $x\in[-1,1]$.  如果约定 $(-1)!!=0!!=1$, 则可以写为

\[
\sqrt{1+x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n
\]

证明:  上面的级数在 $x=\pm 1$ 时收敛.

[Hint]  $x=1$ 时, 级数为交错级数, 使用 Leibniz 判别法;  $x=-1$ 时, 使用 Raabe 判别法.

当 $\alpha=-\frac{1}{2}$ 时, 得到 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 的 Taylor 展开式.

\[
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{1+x}}&=1-\frac{1}{2}x+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)}{3!}x^3\\
&\qquad+\cdots+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots\bigl(-\frac{1}{2}-(n-1)\bigr)}{n!}x^n+\cdots\\
&=1-\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^2}x^2-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^3}x^3+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!\cdot 2^n}x^n+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n
\end{split}
\]

证明此级数在 $x=1$ 处收敛, 在 $x=-1$ 处发散.