Questions in category: 级数 (Infinite Series)
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1. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

Posted by haifeng on 2022-12-08 21:06:39 last update 2022-12-08 21:22:44 | Answers (0) | 收藏


判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性.

 

[Hint] 令 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$, $b_n=\sin n$, 使用 Dirichlet 判别法.

此外, 也可以考虑转换为反常积分.

\[
\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x
\]

 

关于 $\int_0^{+\infty}\sin x^2\mathrm{d}x$ 的计算需要使用复变函数的知识, 见问题2596 .

 

2. 判定下列级数的敛散性.

Posted by haifeng on 2022-10-27 12:41:08 last update 2022-10-27 12:41:08 | Answers (1) | 收藏


设 $a_1=1$, $a_2=\sin a_1=\sin 1$, $a_3=\sin a_2=\sin(\sin 1)$. 一般的, 定义 $a_{n+1}=\sin a_n$, $n=1,2,3,\ldots$.

判定下列级数的敛散性:

(1)  $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln(1+a_n)$.

 

(2)  $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})^2$

 

3. 将函数 $f(x)=\ln(2+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数.

Posted by haifeng on 2022-09-24 17:17:39 last update 2022-09-24 17:17:39 | Answers (2) | 收藏


将函数 $f(x)=\ln(2+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数.

 

 

4. 将 $\ln(1+x)$ 展开成 $x$ 的级数.

Posted by haifeng on 2022-09-24 17:15:36 last update 2022-09-24 17:16:37 | Answers (0) | 收藏


将 $\ln(1+x)$ 展开成 $x$ 的级数.

\[
\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots,
\]

\[
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},
\]

收敛域为 $(-1,1]$.

5. 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2 n}$ 的敛散性.

Posted by haifeng on 2022-06-28 17:56:01 last update 2022-06-28 23:43:49 | Answers (1) | 收藏


判断级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2 n}\]

的敛散性.

 

Remark:

这个级数被称为弗林特 希尔斯级数 (Flint Hills series).  目前尚未确定其敛散性.

 

问题来自多塔数学网.

6. $(1+x)^{\alpha}$ 的 Taylor 展开式.

Posted by haifeng on 2022-04-28 21:27:30 last update 2022-04-28 23:28:57 | Answers (2) | 收藏


$(1+x)^{\alpha}$ 的 Taylor 展开式.  指将其展开成 $x$ 的幂级数.

 

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\bigl(\alpha-(n-1)\bigr)}{n!}x^n+\cdots
\]

这里 $x\in(-1,1)$.  如果记

\[\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\bigl(\alpha-(n-1)\bigr)}{n!},\]

则可以简记为

\[
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n.
\]


 

特别的, 令 $\alpha=\frac{1}{2}$, 则得到 $\sqrt{1+x}$ 的 Taylor 展开式.

\[
\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2\cdot 4}x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4+\cdots
\]

这里 $x\in[-1,1]$.  如果约定 $(-1)!!=0!!=1$, 则可以写为

\[
\sqrt{1+x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n
\]

证明:  上面的级数在 $x=\pm 1$ 时收敛.

[Hint]  $x=1$ 时, 级数为交错级数, 使用 Leibniz 判别法;  $x=-1$ 时, 使用 Raabe 判别法.


 

当 $\alpha=-\frac{1}{2}$ 时, 得到 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 的 Taylor 展开式.

\[
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{1+x}}&=1-\frac{1}{2}x+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)}{3!}x^3\\
&\qquad+\cdots+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots\bigl(-\frac{1}{2}-(n-1)\bigr)}{n!}x^n+\cdots\\
&=1-\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^2}x^2-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^3}x^3+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!\cdot 2^n}x^n+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n
\end{split}
\]

证明此级数在 $x=1$ 处收敛, 在 $x=-1$ 处发散.

7. 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^n\sin^n(\frac{2}{n})$ 的敛散性.

Posted by haifeng on 2021-01-11 09:59:47 last update 2021-01-11 10:00:14 | Answers (1) | 收藏


判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^n\sin^n(\frac{2}{n})$ 的敛散性.

8. Baily-Borwein-Plouffe 公式和贝拉公式

Posted by haifeng on 2021-01-04 15:15:58 last update 2022-11-05 12:59:07 | Answers (0) | 收藏


1996年, Baily, Borwein 和 Plouffe 发现了下面的公式:

\[
\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\biggl(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\biggr)\frac{1}{16^k}
\]

他们利用这个公式证明了, 在二进制下可以直接计算 $\pi$ 的第 $n$ 位小数而无需知道其前 $n-1$ 位小数的值.

 

S0025-5718-97-00856-9.pdf (ams.org)


贝拉(Bellard)在1997年获得了贝拉公式

\[
\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{10n}}\biggl(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\biggr)
\]

 


Remark:

摘自 梅加强 编著《数学分析》P.342.

References:

https://baike.baidu.com/item/贝拉公式

9. 级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin n}{n}$ 是否收敛?

Posted by haifeng on 2020-12-27 20:09:09 last update 2020-12-27 20:16:43 | Answers (0) | 收藏


级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin n}{n}$ 是否收敛?

 

 


一般的, 对于交错级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$, 若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ 但 $u_n$ 并非递减, 能否举出收敛与不收敛的具体例子? 

 

10. [Homework] 7.3

Posted by haifeng on 2020-12-22 09:31:38 last update 2020-12-22 09:31:38 | Answers (3) | 收藏


P. 310    习题 7.3


1.  求下列幂级数的收敛域.

(3)    $x+\dfrac{4}{2!}x^2+\dfrac{9}{3!}x^3+\dfrac{16}{4!}x^4+\cdots$

 

 

 

(7)    $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$

 

 

 


3.  利用幂级数的性质求下列幂级数的和函数.

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n+1}$

 

 

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