设 $a > 0$, $n$ 为正整数, 求 $\sqrt[n]{a}$ 的近似值.

记 $f_n(a)=\sqrt[n]{a}$, 则

\[f_n(1)=1,\quad f_n(\frac{1}{a})=\frac{1}{f_n(a)}.\] 

 因此, 不妨设 $a>1$. 对任意 $b > 0$, 

\[
f_n(a)=\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\frac{b^n a}{b^n}}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{b^n a}.
\]

对于此正数 $b$, 若存在正数 $c$, 使得 $b^n a=c^n+\varepsilon_n$,  则

\[
f_n(a)=\frac{1}{b}\sqrt[n]{b^n a}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{c^n+\varepsilon_n}=\frac{c}{b}\sqrt[n]{1+\frac{\varepsilon_n}{c^n}}.
\]

其中

\[
\sqrt[n]{1+\frac{\varepsilon_n}{c^n}}=(1+\frac{\varepsilon_n}{c^n})^{\frac{1}{n}}
\]

可以根据$(1+x)^{\alpha}$的幂级数展开公式

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdots(\alpha-m+1)}{m!}x^m+\cdots
\]

进行计算, 这里 $|x| < 1$.

因此, 这里要求 $\varepsilon_n$ 满足 $-c^n <\varepsilon_n < c^n$. 这提供了对 $\sqrt[n]{a}$ 求近似值的一个算法.

因此, 第一步找到合适的正数 $b$ 和 $c$, 使得

\[
b^n a=c^n+\varepsilon_n,\quad -1<\frac{\varepsilon_n}{c^n} < 1.
\]

问题3260

判断下列级数的敛散性.

(1)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$

(2)    $\sum\limits_{k=2}^{\infty}\biggl(\dfrac{1}{\sqrt{2k}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}}\biggr)$

判断下列级数的敛散性.

(1)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-\ln n}$

讨论下面级数的敛散性

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}
\]

$(1+x)^{\alpha}$ 展开成幂级数为

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots
\]

这里 $x\in(-1,1)$.  在端点 $\pm 1$ 的敛散性与具体的 $\alpha$ 有关.

计算 $10^{0.9181246048}$, 注意上面级数的收敛区间为 $(-1,1)$, 因此下面的计算方法是错误的.

\[
\begin{split}
10^{0.9181246048}&=(1+9)^{0.9181246048}\\
&=1+0.9181246048\times 9+\frac{0.9181246048(0.9181246048-1)}{2!}9^2\\
&\qquad+\frac{0.9181246048(0.9181246048-1)(0.9181246048-2)}{3!}9^3+\cdots
\end{split}
\]

我们需要将 $10^{\alpha}$ 转换为 $(2^{\alpha})^3\cdot(1.25)^{\alpha}$ 这样的形式. 即使是 $2^{\alpha}$, 有时也有很大的误差, 因为上面的级数在端点 $\pm 1$ 处不一定收敛. 因此需要转换为 $(1+x)^{\alpha}$ 的形式, 其中 $x\in(-1,1)$.

下面使用 Sowya 进行计算.

将下面的代码保存到 code/power.sc 中

//a^t =(1+x)^t
//(1+x)^t = 1+t*x+t*(t-1)/(2!)*x^2+...+t*(t-1)*(t-2)*...*(t-n+1)/(n!)*x^n+...
//make sure x is in (-1,1)

fun power(a,t)
{
    var n=10;
    var x;
    x=a-1;
    var sum=1;
    var coeff, x_pow;
    coeff=1;
    x_pow=1;

    for(var i=0; i< n; i=i+1)   {
        coeff=coeff*(t-i)/(i+1);
        x_pow=x_pow*x;
        sum=sum+coeff*x_pow;
    }
    return sum;
}

启动 Sowya, 并进入到 clox 编程模式,

>> :mode clox

加载 power.sc 文件
> load(code\power.sc)

测试 $2^3$
> print power(2,3);
8>

计算 $2^{3.2}$

> print power(2,3.2);
2243569763|244140625>

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛, 而且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1$, 则能否判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 也收敛? 如若不能, 请举出反例.

用柯西审敛准则证明下列级数收敛.

1.    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$

研究级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin(\alpha n+\beta)$ 的敛散性, 其中 $\alpha$, $\beta$ 为常数.

梅加强《数学分析》P.278, 习题 7.

设 $a_1=\frac{1}{2}$, $2na_{n+1}=(n+1)a_n$, 记 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$, 求 $S_n$.

题目来源:   用和不用北太天元做清华大学2018领军数学第24题的差别