Jordan-Schöenflies 定理或Schöenflies 定理是若当(Jordan)曲线定理更强的版本.

定理(Jordan-Schöenflies) 给定单位圆到平面的一个嵌入 $c: S^1\rightarrow\mathbb{R}^2$, 存在一个同胚 $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, 使得 $f|_{S^1}=c$.

也即任何单位圆到平面的嵌入映射都可以延拓定义到单位圆盘上.

设 $f:\ M^m\rightarrow N^n$ 为光滑映射, $S$ 为 $N$ 的正则子流形. 如果 $f$ 与 $S$ 横截相交, 则 $f^{-1}(S)$ 为 $M$ 的正则子流形, 且

\[
\dim M-\dim f^{-1}(S)=\dim N-\dim S.
\]

References:

梅加强, 《流形与几何初步》

张筑生, 《微分拓扑讲义》

设 $U,V$ 为向量空间 $W$ 的子向量空间, 则 $U,V$ 横截相交当且仅当 $U+V=W$, 此时

\[
\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim W.
\]

或改写为

\[
\text{codim} U\cap V=\text{codim} U+\text{codim} V.
\]

这里 $\text{codim}(U)=\dim W-\dim U$.

设 $M$ 和 $N$ 是微分流形, $N$ 的维数 $\dim N=n$. 又设 $f:M\rightarrow N$ 是可微映射.

(1) 若 $p\in M$ 满足 $\text{rank}_p f < n$, 则称 $p$ 为 $f$ 的临界点.

(2) 若 $p\in M$ 满足 $\text{rank}_p f = n$, 则称 $p$ 为 $f$ 的正则点.

记 $f$ 的全体临界点的集合为 $C_f$ 或 $C(f)$. 全体正则点的集合就是 $M-C_f$.

(3) 若 $q\in N$ 满足 $f^{-1}(q)\cap C_f\neq\emptyset$, 那么就称 $q$ 为 $f$ 的临界值.

(4) 若 $q\in N$ 满足 $f^{-1}(q)\cap C_f=\emptyset$, 那么就称 $q$ 为 $f$ 的正则值.

$f$ 的全体临界值的集合就是 $f(C_f)$. $f$ 的全体正则值的集合是 $N-f(C_f)$. ($N$ 中的点不是正则值就是临界值, $M$ 中的点不是正则点就是临界点.)

注意全体正则值集合不是 $f(M-C_f)$.

(临界值的原像中不一定都是临界点, 正则点的像未必是正则点. 举个例子?)

设 $M$ 和 $N$ 是 $C^r$ 流形 $(r\geqslant 1)$, $f:M\rightarrow N$ 是 $C^r$ 映射, $q\in f(M)$ 是 $f$ 的正则值. 则 $S=f^{-1}(q)$ 是 $M$ 的 $C^r$ 正则子流形, 并且

\[
\dim S=\dim M-\dim N.
\]

(显然 $S$ 是 $M$ 的闭子集, 因而是闭子流形.)

相关的定理:

带边流形的正则值原像定理(参见问题902)

References:

张筑生, 《微分拓扑讲义》

任何一个连通的 1 维微分流形 $M$ 或者微分同胚于圆周 $S^1$, 或者微分同胚于实数区间 $(0,1)$, $[0,1)$ 与 $[0,1]$ 这三者之一.

其中紧致的只有两种.

Cor. 紧致 1 维微分流形的边界由偶数个点组成.

References:

张筑生 编著 《微分拓扑讲义》 北京大学出版社 [pp.141-142]

设 $r\geqslant 1$, $M$ 是 $C^r$ 带边流形, $N$ 是 $C^r$ 无边流形. $f:M\rightarrow N$ 是 $C^r$ 映射. 如果 $q\in N$ 是 $f$ 和 $\partial f=f|_{\partial M}$ 二者共同的正则值, 并且 $f^{-1}(q)\neq\emptyset$. 那么 $S=f^{-1}(q)$ 是 $M$ 的 $\dim M-\dim N$ 维正则子流形(可带边), 并且

\[\partial S=S\cap\partial M.\]

References:

张筑生 编著 《微分拓扑讲义》 北京大学出版社

证明: $S^{n-1}$ 不是 $D^n$ 的收缩核.

这里 $S^{n-1}=\partial D^n$, $D^n$ 是指 $n$ 维单位闭球: $\{x\in\mathbb{E}^{n}\mid |x|\leqslant 1\}$.

本题也就是要证明不存在这样的连续映射:

\[r:\ D^n\rightarrow S^{n-1}\]

使得 $r|_{S^{n-1}}=\mathrm{id}$.

这样的映射称为收缩映射, 像称为收缩核.

证明的思路是这样的, 首先假设存在这样的连续映射 $r$. 然后断言, 一定可以构造一个光滑映射

\[f:\ D^n\rightarrow S^{n-1},\quad\text{s.t.} f(x)=x\ \forall\ x\in S^{n-1}\]

从而应用带边情形的正则值原像定理, 若 $q\in S^{n-1}$ 是 $f$ 的一个正则值, 则 $f^{-1}(q)$ 是 $D^n$ 的 1 维正则光滑子流形, 并且

\[\partial f^{-1}(q)=f^{-1}(q)\cap\partial D^n.\]

由于 $f^{-1}(q)$ 是 $D^n$ 中的闭集, 因此也是紧致的. 但根据定理, 紧致 1 维微分流形的边界应由偶数个点组成 (见问题903). 但是从 $f$ 的构造,

\[\partial f^{-1}(q)=f^{-1}(q)\cap\partial D^n=\{q\}\]

从而得到矛盾.

因此, 问题归结为如何构造这样的光滑映射 $f$.

$S^n$ 具有处处不为 0 的切向量场的充要条件是: $n$ 是奇数.

换言之, 偶数维球面 $S^{2m}$ 上的每一个向量场都有一点处为零(向量).

References:

张筑生 编著 《微分拓扑讲义》 北京大学出版社. P.185 习题 I.7

Nigel Hitchin, Differentiable Manifolds, Course C3.1b 2012. [P63. Theorem 7.4] [pdf]

$n$ 维闭球到自身的任何连续映射都有不动点.

即任何连续映射 $f:\ D^n\rightarrow D^n$ 都必有不动点.

可以用 Brouwer 不动点定理证明若当曲线定理. 参见[1].

References:

[1] Rami Luisto, Proof of the Jordan curve theorem.