$f:X\rightarrow Y$ 是两个拓扑空间之间的连续映射. 若 $Y$ 中任一紧子集在 $f$ 下的原像是紧 的, 则称 $f$ 是常态映射(proper map).

代数几何中有类似的概念 proper morphism.

若 $M$ 是一紧致可定向的 $n$-维流形, 则两个映射 $f,g:\,M\rightarrow S^n$ 是同伦的当且仅当它们具有相同的度.

考虑两个连通可定向的同维数流形之间的连续映射 $f:M\rightarrow N$.

• 一般来说 $f$ 的同伦类不能由其度 $\text{deg}(f)$ 来确定, 请举例说明; 反之是正确的, 因为有同伦引理.
• 但如果 $f$ 是到球面的映射, 即 $f:M^n\rightarrow S^n$, 则 $f$ 的同伦类可由其度所确定. 参见Hopf 定理.

设 $M,N$ 是同维数的光滑流形, $M$ 紧致无边. 连续映射 $f:M\rightarrow N$ 的度定义为任意同伦于它的光滑映射的度. (这种光滑映射一定是存在的.)

设 $M,N$ 是同维数的两个光滑流形, 并且 $M$ 紧致无边, $f,g\,:M\rightarrow N$ 是光滑同伦的. 若 $y$ 对于 $f,g$ 都是正则值, 则

\[ \#f^{-1}(y)\equiv\#g^{-1}(y)\ (\text{mod}\ 2); \]

并且, 若 $z$ 也是 $f$ 的正则值, 则

\[ \#f^{-1}(y)\equiv\#f^{-1}(z)\ (\text{mod}\ 2), \] 这个共同的同余类称为 $f$ 的模 2 度. 即模 2 映射度不依赖于正则值的选取.