问题及解答

考虑两个连通可定向的同维数流形之间的连续映射 $f:M\rightarrow N$.

• 一般来说 $f$ 的同伦类不能由其度 $\text{deg}(f)$ 来确定, 请举例说明; 反之是正确的, 因为有同伦引理.
• 但如果 $f$ 是到球面的映射, 即 $f:M^n\rightarrow S^n$, 则 $f$ 的同伦类可由其度所确定. 参见Hopf 定理.

考虑映射 $f:S^1\times S^1$, $(x,y)\mapsto (1,y)$. 显然 $f$ 不是单射, 且 $\text{deg}(f)=0$ (根据度的定义).

而映射 $g:S^1\times S^1$, $(x,y)\mapsto (1,1)$ 的度也为0, 但显然 $f$ 不同伦于常值映射 $g$ (因为$1\times S^1$ 在环面上不好收缩至一点).