Questions in category: 代数 (Algebra)
代数
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1. 证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

Posted by haifeng on 2022-07-26 18:37:15 last update 2022-07-26 18:37:15 | Answers (0) | 收藏


证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

2. 证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

Posted by haifeng on 2022-07-26 18:37:15 last update 2022-07-26 18:37:15 | Answers (0) | 收藏


证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

3. 一些简单的代数运算题

Posted by haifeng on 2022-07-04 08:01:28 last update 2022-07-04 13:54:47 | Answers (2) | 收藏


1.  设 $m,n\in\mathbb{R}$, 已知 $(m+\sqrt{m^2+1})(n+\sqrt{n^2+1})=1$, 证明 $m+n=0$.

 

2. 解方程组

\[
\begin{cases}
x^3+y^3=5,\\
x^2+y^2=3.
\end{cases}
\]

4. 设 $a+b+c=x$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}$, 这里 $x > 0$. 若 $k$ 是正的奇数, 用 $x$ 表示 $\frac{1}{a^{k}}+\frac{1}{b^{k}}+\frac{1}{c^{k}}$.

Posted by haifeng on 2022-02-12 09:20:01 last update 2022-02-12 09:33:25 | Answers (1) | 收藏


设 $a+b+c=x$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}$, 这里 $x > 0$. 若 $k$ 是正的奇数, 用 $x$ 表示

\[\frac{1}{a^{k}}+\frac{1}{b^{k}}+\frac{1}{c^{k}}.\]

 

 

当 $x=2022$, $k=2023$ 时, 即为网上的一道题目. 

参考 [1]


References:

[1] 越南全国高中数学竞赛试题_哔哩哔哩_bilibili

 

5. ???

Posted by usertest on 2021-11-10 10:38:59 last update 2021-11-10 10:38:59 | Answers (0) | 收藏


6. [高中] 最值问题

Posted by haifeng on 2021-07-04 17:54:29 last update 2021-07-04 20:20:38 | Answers (2) | 收藏


1.  设 $f(x)=ax^2+bx+c$, $(b > a)$. 且对于任意 $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geqslant 0$ 恒成立.

求 $\dfrac{a+b+c}{b-a}$ 的最小值.

 


2.  设 $\alpha\neq k\pi$, $k$ 为整数.  求 $\sin^2\alpha+\frac{4}{\sin\alpha}$ 的局部最大值和局部最小值.

7. [高中]一道比较复杂的不等式题目

Posted by haifeng on 2021-07-04 07:49:37 last update 2021-07-04 11:57:15 | Answers (2) | 收藏


设实数 $a,b,c$ 满足 $a\sqrt{c} > 2b > 0$, 求

\[
a^2+\frac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt{c}-2b)}+\frac{c^3+c+2}{2(c^2+1)}
\]

的最小值.

 


另外, 证明该式可以趋向 $+\infty$.

8. 将 $y^3+ay^2+by+c=0$ 化为 $x^3+ax+b=0$ 的形式.

Posted by haifeng on 2020-01-07 20:38:30 last update 2020-01-07 21:00:34 | Answers (1) | 收藏


将 $y^3+ay^2+by+c=0$ 化为 $x^3+ax+b=0$ 的形式.

 

[分析], 要将 $y^2$ 项去掉, 只需令 $y=x+p$. 这里利用了 $y^3=(x+p)^3$ 的展开式, 展开式中有 $x^2$ 项, 只需与后面的 $ax^2$ 抵消即可. 为此, 可推出 $p=-\frac{a}{3}$.

 

References:

冯承天, 《从一元一次方程到伽罗瓦理论》   华东师范大学出版社.

9. 如何判断多项式的因式情况?

Posted by SRThorn on 2019-03-23 19:39:30 last update 2019-03-23 19:39:30 | Answers (0) | 收藏


我们知道一个关于x的最箭多项式A0x^n+A1x^(n-1)+……+An-1x+An在实数范围内最多存在n个因式,但有时因式少于n个,其存在一些不可约的多次式,有时这个多项式不可约。那么,如何判断一个这样的多项式是否可以因式分解,因式有几项以及几项多次因式?

10. 永田雅宜(Nagata)

Posted by haifeng on 2014-05-04 15:22:09 last update 2014-05-10 09:13:28 | Answers (0) | 收藏


永田雅宜日语ながた まさよし,1927年2月9日-2008年8月27日),日本数学家京都大学名誉教授,理学博士

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