证明 $\mathbb{Z}$ 的全部子群为 $\{m\mathbb{Z}\mid m\in\mathbb{Z}\}$.

这里 $m\mathbb{Z}=\{0,\pm m,\pm 2m,\ldots\}$

模群(modular group)指 $SL_2(\mathbb{Z})$, 即系数取自整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的所有行列式为 1 的二阶矩阵集合, 容易验证这是一个乘法群.

朗兰兹对偶群(Langlands dual group)

$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ 的 Weil 群(Weil group) 分别指 $W_{\mathbb{R}}$, $W_{\mathbb{C}}$.

$W_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}^{\times}$.

记 $\mathbb{Q}^+$ 为所有正有理数构成的集合, 它在乘法下构成一个群. 

Glass 和 Ribenboim [1]证明了 $(\mathbb{Q}^+,\cdot)$ 的保序自同构是平凡自同构.

Theorem.  The only automorphism of the ordered multiplicative group of positive rational numbers is the trivial automorphism.

References:

[1]  A. M. W. Glass and Paulo Ribenboim, Automorphisms of the ordered multiplicative group of positive rational numbers, Proceedings of the American Mathematical Society, (1994) Vol.122, No. 1, 15--18.

如果群 $G$ 除了幺群(即由单位元构成的群 $\{e\}$)及 $G$ 本身之外, 没有其他的正规子群, 则称 $G$ 是单群(simple group).

Remark: 若称 $\{e\}$ 和 $G$ 是群 $G$ 的平凡正规子群, 则单群就是指没有非平凡的正规子群的群.

由于交换群的任意子群都是正规子群, 因此有限交换单群的阶(即群中元素的个数)一定是素数.

Remark: 单群的定义与素数的定义有相似之处.

正二十面体变到自身的所有旋转构成一个群, 证明这个群由60个旋转组成. 记作 $I_{60}$.

参见 [1] 或问题2883

References:

[1] Milnor, The Poincaré conjecture.  http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf

定义: 设 $\{G_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\}$ 是一族群, 规定它们的自由乘积 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 是一个群. 作为集合有:

\[
*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}=\{x_1 x_2\cdots x_n\mid n\geqslant 0, x_i\ \text{是某个}\ G_{\lambda}\ \text{中的非单位元,}\ \text{若}\ i\neq j, \text{则}\ x_i\ \text{与}\ x_{j}\ \text{不在同一个}\ G_{\lambda}\ \text{中}\}
\]

其中 $n=0$ 的元素只有一个, 记为 1. 群中的乘法规定如下:

设 $x_1 x_2\cdots x_n$ 和 $y_1 y_2\cdots y_m$ 是两个元素, 若 $1\leqslant\ell < \min(m,n)$ 时, $x_{n-i+1}$ 和 $y_i$ 属于同一个群 $G_{\lambda}$, 且 $x_{n-i+1}\cdot y_i=1$, 而 $x_{n-\ell}$ 和 $y_{\ell+1}$ 不再有此性质, 则它们的乘积为:

\[
(x_1 x_2\cdots x_n)\cdot(y_1 y_2\cdots y_m)=
\begin{cases}
x_1\cdots (x_{n-\ell}y_{\ell+1})\cdots y_m, & \text{若}\ x_{n-\ell}, y_{\ell+1}\ \text{同属于某个群}\ G_{\lambda}\ \text{中},\\
x_1\cdots x_{n-\ell}y_{\ell+1}\cdots y_m, & \text{否则}.
\end{cases}
\]

尝试用例子验证一下乘法的结合律是满足的. 例如:

三个元素 $r=x_5 x_4 x_3 x_2 x_1$, $s=x_1^{-1} x_2^{-1} x_3^{-1} x_4^{-1} x_6^{-1} x_7^{-1}$, $t=x_7 x_6 x_4 x_3 x_8$.

则容易验证有 $(rs)t=r(st)=x_5 x_4 x_3 x_8$.

每个 $s\in *_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 都能找到唯一的逆元. 单位元即 $x_0=1$. 因此 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 的确构成一个群.

显然, 按照群 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 的上述定义, 每个 $G_{\lambda}$ 是它的一个子群.

Prop. 设 $H$ 是一群, $\forall\ \lambda\in\Lambda$, 有同态 $f_{\lambda}:\ G_{\lambda}\rightarrow H$, 则存在唯一同态 $f:\ *_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\rightarrow H$, 使得 $f\bigr|_{G_{\lambda}}=f_{\lambda}$, $\forall\ \lambda\in\Lambda$.

设 $H\leqslant G$, 且 $[G:H]=2$, 证明 $H\unlhd G$.

设 $G,G'$ 是两个群. $e,e'$ 分别是两个群的单位元. 如果定义

\[
(g,g')\cdot(h,h')=(gh,g'h'),
\]

则 $G\times G'$ 是一个群.

证明 $G\times\{e'\}\triangleleft G\times G'$, $\{e\}\times G'\triangleleft G\times G'$, 并且

\[
\begin{aligned}
G\times G'/G\times{e'}\cong G',\\
G\times G'/\{e\}\times G'\cong G.\\
\end{aligned}
\]