Questions in category: 群论 (Group Theory)
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1. [Def]单群

Posted by haifeng on 2022-03-20 20:12:28 last update 2022-03-20 20:39:09 | Answers (0) | 收藏


如果群 $G$ 除了幺群(即由单位元构成的群 $\{e\}$)及 $G$ 本身之外, 没有其他的正规子群, 则称 $G$ 是单群(simple group).

 

Remark: 若称 $\{e\}$ 和 $G$ 是群 $G$ 的平凡正规子群, 则单群就是指没有非平凡的正规子群的群.

 

由于交换群的任意子群都是正规子群, 因此有限交换单群的阶(即群中元素的个数)一定是素数.

2. 正二十面体变到自身的所有旋转构成一个群, 证明这个群由60个旋转组成.

Posted by haifeng on 2022-01-19 23:08:44 last update 2022-01-19 23:11:10 | Answers (0) | 收藏


正二十面体变到自身的所有旋转构成一个群, 证明这个群由60个旋转组成. 记作 $I_{60}$.

 

参见 [1] 或问题2883


References:

[1] Milnor, The Poincaré conjecture.  http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf

3. 群的自由乘积

Posted by haifeng on 2020-07-11 19:48:06 last update 2020-07-11 20:10:19 | Answers (1) | 收藏


定义: 设 $\{G_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\}$ 是一族群, 规定它们的自由乘积 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 是一个群. 作为集合有:

\[
*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}=\{x_1 x_2\cdots x_n\mid n\geqslant 0, x_i\ \text{是某个}\ G_{\lambda}\ \text{中的非单位元,}\ \text{若}\ i\neq j, \text{则}\ x_i\ \text{与}\ x_{j}\ \text{不在同一个}\ G_{\lambda}\ \text{中}\}
\]

其中 $n=0$ 的元素只有一个, 记为 1. 群中的乘法规定如下:

设 $x_1 x_2\cdots x_n$ 和 $y_1 y_2\cdots y_m$ 是两个元素, 若 $1\leqslant\ell < \min(m,n)$ 时, $x_{n-i+1}$ 和 $y_i$ 属于同一个群 $G_{\lambda}$, 且 $x_{n-i+1}\cdot y_i=1$, 而 $x_{n-\ell}$ 和 $y_{\ell+1}$ 不再有此性质, 则它们的乘积为:

\[
(x_1 x_2\cdots x_n)\cdot(y_1 y_2\cdots y_m)=
\begin{cases}
x_1\cdots (x_{n-\ell}y_{\ell+1})\cdots y_m, & \text{若}\ x_{n-\ell}, y_{\ell+1}\ \text{同属于某个群}\ G_{\lambda}\ \text{中},\\
x_1\cdots x_{n-\ell}y_{\ell+1}\cdots y_m, & \text{否则}.
\end{cases}
\]

 


尝试用例子验证一下乘法的结合律是满足的. 例如:

三个元素 $r=x_5 x_4 x_3 x_2 x_1$, $s=x_1^{-1} x_2^{-1} x_3^{-1} x_4^{-1} x_6^{-1} x_7^{-1}$, $t=x_7 x_6 x_4 x_3 x_8$.

则容易验证有 $(rs)t=r(st)=x_5 x_4 x_3 x_8$.

每个 $s\in *_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 都能找到唯一的逆元. 单位元即 $x_0=1$. 因此 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 的确构成一个群.

 

显然, 按照群 $*_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}$ 的上述定义, 每个 $G_{\lambda}$ 是它的一个子群.


 

Prop. 设 $H$ 是一群, $\forall\ \lambda\in\Lambda$, 有同态 $f_{\lambda}:\ G_{\lambda}\rightarrow H$, 则存在唯一同态 $f:\ *_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}\rightarrow H$, 使得 $f\bigr|_{G_{\lambda}}=f_{\lambda}$, $\forall\ \lambda\in\Lambda$.

 

4. 设 $H\leqslant G$, 且 $[G:H]=2$, 证明 $H\unlhd G$.

Posted by haifeng on 2018-01-17 21:55:11 last update 2018-01-17 21:55:11 | Answers (0) | 收藏


设 $H\leqslant G$, 且 $[G:H]=2$, 证明 $H\unlhd G$.

5. $G\times G'$

Posted by haifeng on 2015-02-11 15:55:32 last update 2015-02-11 15:58:20 | Answers (1) | 收藏


设 $G,G'$ 是两个群. $e,e'$ 分别是两个群的单位元. 如果定义

\[
(g,g')\cdot(h,h')=(gh,g'h'),
\]

则 $G\times G'$ 是一个群.

证明 $G\times\{e'\}\triangleleft G\times G'$, $\{e\}\times G'\triangleleft G\times G'$, 并且

\[
\begin{aligned}
G\times G'/G\times{e'}\cong G',\\
G\times G'/\{e\}\times G'\cong G.\\
\end{aligned}
\]
 

6. 4阶群有多少个同构类?

Posted by haifeng on 2015-02-05 11:12:32 last update 2015-12-15 23:32:43 | Answers (0) | 收藏


素数阶群都是循环群, 而且都只有一个同构类.

(设 $G$ 的阶是素数 $m$, 任取 $a\in G$, 则 $a$ 的阶整除 $m$. 故要么 $a$ 是 $G$ 的单位元, 要么 $a$ 生成整个群 $G$. 故 $G=<a>$ 是循环群.)

 

问: 4阶群有多少个同构类?


[Hint]

 

(1) $G$ 有一个4阶元, 则 $G=\langle a\rangle\cong\mathbb{Z}_4$.

(2) $G$ 没有4阶元, 设 $G=\{e,a,b,c\}$.

则 $G$ 的3个非零单位元 $a,b,c$ 都是 2阶元. 容易证明

\[
G\cong K\lhd A_4,
\]

这里

\[
K=\{(1),\ (12)(34),\ (13)(24),\ (14)(23)\}
\]

7. 求 6 阶循环群的所有子群.

Posted by haifeng on 2015-02-05 10:39:23 last update 2015-02-05 10:39:23 | Answers (1) | 收藏


求 6 阶循环群 $G=\langle a\rangle$ 的所有子群.

8. 实数加法群的自同构群

Posted by haifeng on 2015-02-01 21:09:16 last update 2015-02-01 22:34:03 | Answers (0) | 收藏


求实数加法群 $(\mathbb{R},+)$ 的自同构群.


[Hint]

若简记 $\mathbb{R}=(\mathbb{R},+)$,群 $\mathbb{R}$ 的单位元是 $0$.

\[
\text{Aut}(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\mid f\ \text{是自同构}\}
\]

$f$ 是自同构当且仅当 $f$ 是双射, 且是同态, 即 $f(x+y)=f(x)+f(y)$. 从而 $f(0)=0$.

$f(2)=2f(1)$, $f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)$. 容易验证 $f(x)=xf(1)$.

因此只要确定 $f(1)\neq 0$, 就确定了自同构 $f$.

因此 $g(f(x))=g(xf(1))=xf(1)g(1)$. 所以 $\text{Aut}(\mathbb{R})=\mathbb{R}^*$.

 

9. [Def]欧拉角(Euler angles)

Posted by haifeng on 2012-07-17 13:34:57 last update 2012-07-17 15:58:57 | Answers (0) | 收藏


这里的欧拉角实际上是三个(依次的)角度. 它们用来刻画三维欧氏空间中从一个坐标系到另一个坐标系的变换. 也就是说这个变换被分解为三个旋转.

假设初始坐标系为 $\mathbf{X}=\{\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\}$, 在正交变换 $g$ 下变换为 $\mathbf{X\'}=\{\mathbf{x\'},\mathbf{y\'},\mathbf{z\'}\}$.

首先坐标系 $\mathbf{X}$ 绕 $\mathbf{z}$ 轴逆时针旋转 $\psi$ 角度, 转动至坐标系 $\mathbf{\Xi}=\{\mathbf{\xi},\mathbf{\eta},\mathbf{\zeta}\}$ 处, 即通过下面的变换

\[\mathbf{\Xi}=g(\psi)\mathbf{X},\]

其中

\[g(\psi)=
\begin{pmatrix}
\cos\psi & -\sin\psi & 0\\
\sin\psi & \cos\psi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

第二步, 将坐标系 $\mathbf{\Xi}$ 绕 $\mathbf{\xi}$ 轴旋转 $\theta$ 角度, 转至坐标系 $\mathbf{\Xi\'}=\{\mathbf{\xi\'},\mathbf{\eta\'},\mathbf{\zeta\'}\}$ 处, 即通过下面的线性变换

\[\mathbf{\Xi\'}=g(\theta)\mathbf{\Xi},\]

其中

\[g(\theta)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}.
\]

第三步, 将坐标系 $\mathbf{\Xi\'}$ 绕 $\mathbf{\zeta\'}$ 轴旋转 $\phi$ 角度, 转至坐标系 $\mathbf{X\'}=\{\mathbf{x\'},\mathbf{y\'},\mathbf{z\'}\}$ 处, 即通过下面的线性变换

\[\mathbf{X\'}=g(\phi)\mathbf{\Xi\'},\]

其中

\[g(\phi)=
\begin{pmatrix}
\cos\phi & -\sin\phi & 0\\
\sin\phi & \cos\phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

于是

\[\mathbf{X\'}=g\mathbf{X}=g(\phi)g(\theta)g(\psi)\mathbf{X},\]

其中 $g$ 为

\[
\begin{split}
&
\begin{pmatrix}
\cos\phi & -\sin\phi & 0\\
\sin\phi & \cos\phi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\psi & -\sin\psi & 0\\
\sin\psi & \cos\psi & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
=&
\begin{pmatrix}
\cos\phi\cos\psi-\cos\theta\sin\phi\sin\psi & -\cos\phi\sin\psi-\cos\theta\sin\phi\cos\psi & \sin\phi\sin\theta\\
\sin\phi\cos\psi+\cos\theta\cos\phi\sin\psi & -\sin\phi\sin\psi+\cos\theta\cos\phi\cos\psi & -\cos\phi\sin\theta\\
\sin\theta\sin\psi & \sin\theta\cos\psi & \cos\theta
\end{pmatrix}.
\end{split}
\]

这三个角度 $\psi,\theta,\phi$ 是独立的参数, 完全决定了旋转变换 $g$. 它们被称为欧拉角(Euler angles). 由于第一、二、三步所采取的旋转分别是绕坐标系的第 3, 1, 3 轴旋转, 因此这被称为 $(3,1,3)$-序列欧拉角. 根据它们的定义, 得到它们的范围:

\[\psi\in[0,2\pi],\quad\theta\in[0,\pi],\quad\phi\in[0,2\pi].\]


这里的 $\psi,\theta,\phi$ 如何确定? 这里不妨记 $\mathbf{x}$ 轴正方向上的单位向量仍记为 $\mathbf{x}$, 其余类同. 则根据上面的定义, $\theta$ 就是 $\mathbf{z\'}$ 与 $\mathbf{z}$ 的夹角. $\mathbf{\xi}=\mathbf{\xi\'}=\mathbf{z}\times\mathbf{z\'}$. 然后在 $ozz\'$ 平面内确定 $\mathbf{\eta\'}$, $\mathbf{\eta\'}=\mathbf{\zeta\'}\times\mathbf{\xi\'}$. 由于 $\mathbf{\zeta}=\mathbf{z}$, $\mathbf{\xi}=\mathbf{\xi\'}$, $\mathbf{\eta}=\mathbf{z}\times\mathbf{\xi\'}$. 这样 $\phi$ 作为 $\mathbf{\eta\'}$ 和 $\mathbf{y\'}$ 之间的夹角就可以求出来. $\psi$ 作为 $\mathbf{\xi}$ 和 $\mathbf{x}$ 之间的夹角也可以求出来.

$\phi,\theta,\psi$ 分别称为 spin, nutation, precession.


Reference:

Moshe Carmeli, Shimon Malin, Theory of Spinors, An Introduction.

James Diebel, Representing Attitude: Euler Angles, Unit Quaternions, and Rotation Vectors, 2006.
 

10. 求 Heisenberg 群的中心

Posted by haifeng on 2012-03-24 23:44:18 last update 2014-02-21 10:37:55 | Answers (1) | 收藏


Heisenberg group 的中心

\[C(H^3)=\{a | ab=ba,\ \forall b\in H^3\}\]

$H^3$ 中的元素形如

\[\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\]

其中 $a,b,c\in\mathbb{R}$.


$\mathbb{H}^3$ 模去它的中心得到商群 $\mathbb{H}^3/C(\mathbb{H}^3)$, 从而定义了 $\mathbb{H}^3$ 在底空间 $\mathbb{H}^3/C(\mathbb{H}^3)\cong\mathbb{R}^2$ 上的一个Riemannian fibration (参见\cite[Chapter 1]{Ber-Gau-Maz}). 子丛 $E$ 从而由该 fibration 的水平子丛所构成, 其与 1-形式 $dz-xdy$ 的核一致.

 


References

http://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group

@book{Ber-Gau-Maz,
AUTHOR = "M.~Berger, P.~Gauduchon, E.~Mazet",
TITLE = "Le Spectre d\'une Vari\\'{e}t\\'{e} Riemannienne",
PUBLISHER = "Springer",
YEAR = "1971",
volume = "194",
series = "Lecture Notes",
address = "",
edition = "",
month = "",
note = ""
}

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