问题及解答

定义: 设 $\{G_{\lambda }\mid \lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ 是一族群, 规定它们的自由乘积 ${\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }$ 是一个群. 作为集合有:

$${\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }=\{x_1{x}_2\cdots x_n\mid n⩾0,x_i\text{是某个}{G}_{\lambda }\text{中的非单位元,}\text{若}i\ne j,\text{则}{x}_i\text{与}{x}_j\text{不在同一个}{G}_{\lambda }\text{中}\}$$

其中 $n=0$ 的元素只有一个, 记为 1. 群中的乘法规定如下:

设 $x_1{x}_2\cdots x_n$ 和 $y_1{y}_2\cdots y_m$ 是两个元素, 若 $1⩽\ell <min(m,n)$ 时, $x_{n-i+1}$ 和 $y_i$ 属于同一个群 $G_{\lambda }$, 且 $x_{n-i+1}\cdot y_i=1$, 而 $x_{n-\ell }$ 和 $y_{\ell +1}$ 不再有此性质, 则它们的乘积为:

$$(x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot (y_1{y}_2\cdots y_m)=\{\begin{array}{ll}{x}_1\cdots (x_{n-\ell }{y}_{\ell +1})\cdots y_m,& \text{若}{x}_{n-\ell },y_{\ell +1}\text{同属于某个群}{G}_{\lambda }\text{中},\\ x_1\cdots x_{n-\ell }{y}_{\ell +1}\cdots y_m,& \text{否则}.\end{array}$$

尝试用例子验证一下乘法的结合律是满足的. 例如:

三个元素 $r=x_5{x}_4{x}_3{x}_2{x}_1$, $s=x_1^{-1}{x}_2^{-1}{x}_3^{-1}{x}_4^{-1}{x}_6^{-1}{x}_7^{-1}$, $t=x_7{x}_6{x}_4{x}_3{x}_8$.

则容易验证有 $(rs)t=r(st)=x_5{x}_4{x}_3{x}_8$.

每个 $s\in {\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }$ 都能找到唯一的逆元. 单位元即 $x_0=1$. 因此 ${\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }$ 的确构成一个群.

显然, 按照群 ${\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }$ 的上述定义, 每个 $G_{\lambda }$ 是它的一个子群.

Prop. 设 $H$ 是一群, $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }$, 有同态 $f_{\lambda }:G_{\lambda }\to H$, 则存在唯一同态 $f:{\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }\to H$, 使得 $f{|}_{G_{\lambda }}=f_{\lambda }$, $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }$.

(存在性)

令 $f{|}_{G_{\lambda }}=f_{\lambda }$, $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }$. 且规定

$$f(x_1{x}_2\cdots x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n).$$

显然 $f$ 保持运算, 可以验证为群同态. 即

$$f((x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot (y_1{y}_2\cdots y_m))=f(x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot f(y_1{y}_2\cdots y_m)$$

(唯一性)

若存在另一群同态 $g:{\ast }_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{G}_{\lambda }\to H$, s.t. $g{|}_{G_{\lambda }}=f_{\lambda }$, $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda }$. 则 $g{|}_{G_{\lambda }}=f_{\lambda }=f{|}_{G_{\lambda }}$. 

由于 $g$ 是群同态, 故

$$g(x_1{x}_2\cdots x_n)=g(x_1)g(x_2)\cdots g(x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=f(x_1{x}_2\cdots x_n)$$

故 $f\equiv g$.

Q.E.D.