当 $\theta\neq 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ 时, 证明下面的恒等式.
当 $\theta\neq 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ 时, 证明下面的恒等式,
\[
\sin x+\sin(x+\theta)+\sin(x+2\theta)+\cdots+\sin(x+(n-1)\theta)=\frac{\sin\frac{n\theta}{2}\cdot\sin(x+\frac{n-1}{2}\theta)}{\sin\frac{\theta}{2}}.
\]
[分析] 恒等式左边是关于等差数列 $\{x+k\theta\mid k=0,1,2,\ldots,n-1\}$ 的正弦值的和.
回顾三角函数的积化和差公式
\[
\sin x\cdot\sin y=-\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr]=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr],\tag{*}
\]
这可由和差化积公式
\[
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
\]
推出.
注意到 $(*)$ 式右边是两个式子的差, 故如果是很多项都形如这种形式, 可以构造成前后抵消的形式.
我们假设 $\sin x+\sin(x+\theta)+\sin(x+2\theta)+\cdots+\sin(x+(n-1)\theta)$ 乘以 $\sin t$ 后可以前后抵消,
\[
\begin{aligned}
\sin t\cdot\sin x&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(t-x)-\cos(t+x)\bigr]=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x-t)-\cos(t+x)\bigr]\\
\sin t\cdot\sin(x+\theta)&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+\theta-t)-\cos(t+x+\theta)\bigr]\\
\sin t\cdot\sin(x+2\theta)&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+2\theta-t)-\cos(t+x+2\theta)\bigr]\\
&\vdots\\
\sin t\cdot\sin(x+(n-1)\theta)&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+(n-1)\theta-t)-\cos(t+x+(n-1)\theta)\bigr]\\
\end{aligned}
\]
要使得前后抵消, 只需令 $x+k\theta-t=t+x+(k-1)\theta$, 这推出 $t=\frac{1}{2}\theta$.
因此, 证明方法是乘以 $\sin\frac{1}{2}\theta$.