Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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1. 证明: $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$.

Posted by haifeng on 2019-12-20 20:58:32 last update 2019-12-21 20:40:33 | Answers (2) | 收藏


证明: $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$.

 

至少有三种证法.

(1) 数学归纳法(mathematical induction)

(2) 考虑telescoping sum $\sum\limits_{i=1}^{n}[(i+1)^4-i^4]$

(3) 由 Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain Alkarchi 在公元后大约1010年左右证明. 使用一个边长为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的正方形来证明. 此正方形的边被分割成长度依次为 $1,2,3,\ldots,n$ 的线段.

 


(4) 第四种证明是由 David Chen (陈)的儿子(六年级)在2019年12月20日发现的. 使用了下面的观察, 也是一种 telescoping sum

首先 $i^3=(i-1)i(i+1)+i$, 然后观察到

\[
(i-1)i(i+1)=\frac{1}{4}\Bigl[(i-1)i(i+1)(i+2)-(i-2)(i-1)i(i+1)\Bigr]
\]

Note: $(i-1)i(i+1)=i(i^2-1)$ 这个形式也出现在 $y^2=x^3+x^2$ 的有理参数化中. (令 $x=t^2-1$, 则 $y=t(t^2-1)$)

代数几何中, 平面三次曲线族 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ (这里 $\lambda\in\mathbb{R}$) 只有对于 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$ 时能被有理参数化. 

参见 Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 6-7, 例0.5.

 

References of (3)

James Stewart, Calculus (7th Edition) Appendix E. Exercise 40.

 

顺便考虑一下 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^4$,  $\sum\limits_{i=1}^{n}i^5$ 等等.

2. 已知方程 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 中有实根, 确定常数 $k$ 取值范围.

Posted by haifeng on 2019-11-16 12:31:34 last update 2019-11-16 12:32:55 | Answers (2) | 收藏


已知方程 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 中有实根, 确定常数 $k$ 取值范围.

 

 

[hint]

本题实际上就是要确定函数 $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上的最大最小值.

3. 证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

Posted by haifeng on 2019-10-27 19:35:32 last update 2019-10-27 19:39:33 | Answers (1) | 收藏


证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

 

请求出此方程的所有根.

4. 证明: 方程 $x^5-3x^3-1=0$ 至少有一个介于 1 与 2 之间的实根.

Posted by haifeng on 2019-10-27 11:20:07 last update 2019-10-27 11:20:07 | Answers (1) | 收藏


证明: 方程 $x^5-3x^3-1=0$ 至少有一个介于 1 与 2 之间的实根.

5. 求函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ 的间断点, 并判别间断点的类型.

Posted by haifeng on 2019-10-27 10:31:30 last update 2019-10-27 10:31:30 | Answers (1) | 收藏


求函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ 的间断点, 并判别间断点的类型.

 

[hint]

写出 $f(x)$ 的具体表达式, 分段定义.

6. 无穷小在加减法中的替换

Posted by haifeng on 2019-10-17 14:21:14 last update 2019-10-17 14:21:14 | Answers (1) | 收藏


设 $\alpha(x),\beta(x)$ 是 $x\rightarrow x_0$ 时的无穷小量, $\alpha_1(x),\beta_1(x)$ 也是 $x\rightarrow x_0$ 时的无穷小量. 并且当 $x\rightarrow x_0$ 时, $\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$, $\beta(x)\sim\beta_1(x)$.

问什么时候有 $\alpha(x)-\beta(x)\sim\alpha_1(x)-\beta_1(x)$?

 

A. 当 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 不等价时, 可以这样代换.

7. 设 $f(x)$ 可导, 对 $\forall s,t\in\mathbb{R}$, 有 $f(s+t)=f(s)+f(t)+2st$, 且 $f'(0)=1$. 求 $f(x)$ 的表达式.

Posted by haifeng on 2019-10-13 22:42:48 last update 2019-10-13 22:42:48 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 可导, 对 $\forall s,t\in\mathbb{R}$, 有 $f(s+t)=f(s)+f(t)+2st$, 且 $f'(0)=1$. 求 $f(x)$ 的表达式.
 

8. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\int_a^x f(x)dx\geqslant 0$, $\forall x\in[a,b]$. 且 $\int_a^b f(x)dx=0$. 证明: $\int_a^b xf(x)dx\leqslant 0$.

Posted by haifeng on 2019-10-13 20:57:10 last update 2019-10-13 21:01:41 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\int_a^x f(x)dx\geqslant 0$, $\forall x\in[a,b]$. 且 $\int_a^b f(x)dx=0$.

证明: $\int_a^b xf(x)dx\leqslant 0$.

 


类似的题目, 见问题1519
 

9. 求 $x^2+x+\frac{8}{x}$ 在区间 $[1,10]$ 上的极值.

Posted by haifeng on 2019-10-13 10:31:35 last update 2019-10-13 10:51:17 | Answers (0) | 收藏


求 $x^2+x+\frac{8}{x}$ 在区间 $[1,10]$ 上的极值.

 


[分析]

记 $f(x)=x^2+x+\frac{8}{x}$, 则 $f'(x)=2x+1-\frac{8}{x^2}$. 令 $f'(x)=0$ 求驻点, 则得到一个一元三次方程.

\[
2x^3+x^2-8=0.
\]

这样用到三次方程的求根公式(关于此公式的历史, 真正的发现者是意大利数学家 Niccolò Fontana. Fontana 由于口吃, 被人称为 Tartaglia. 因此这个公式也叫 Tartaglia 公式. 由于 Fontana 将公式透露给卡尔丹诺, 卡尔丹诺没有遵守承诺保密而自己率先将公式发表, 于是历史上也称此公式为卡尔丹诺公式.)

 

Chen 告诉我他通过代入三次方程的求根公式, 解得

\[
x_0=\sqrt[3]{\frac{431}{216}+\frac{\sqrt{1290}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{431}{216}-\frac{\sqrt{1290}}{18}}-\frac{1}{6}.
\]

因此, $f(x)$ 在 $x=x_0$ 时, 函数值取得最小.


 

由此衍生出一个小问题:

Q. 求证 $m^2(2m+n)=(2n)^3$ 无正整数解. 

(如不使用 Fontana 公式, 该如何证明?)

 

 


Remark: 问题来源于 David Chen.

 

 


References:

 

Nicolo Tartaglia

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Tartaglia.html

10. 用三种方法求 $y=a^x$ 的导数

Posted by haifeng on 2019-10-13 07:06:06 last update 2019-10-13 07:09:00 | Answers (0) | 收藏


用三种方法求 $y=a^x$ 的导数

1. 用导数的定义

2. 利用等价无穷小

\[
\begin{split}
y'_x&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{h}-1}{h}\\
&=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\ln a}{h}=a^x\ln a.
\end{split}
\]

3. 利用复合函数的求导规则

\[
y'_x=(a^x)'=(e^{x\ln a})'=e^{x\ln a}\cdot(x\ln a)'=a^x\ln a.
\]

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