设 $0 < a < b$, 证明 

\[\ln b-\ln a > \frac{2(b-a)}{b+a}.\]

证明:

\[\ln(2n+1) > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.\]

设 $\frac{x_1}{e^{x_1}}=\frac{x_2}{e^{x_2}}$, 证明 $x_1+x_2 > 2$.

找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.

尝试:

\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]

注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.

题目来自[1] 习题1.1, P.3

[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版

今天买到了第二版，甚为高兴, 记录一下。  ------ 2023-12-31

以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方（如有误请指正）.

[1] 梅加强  编著《数学分析》第二版,  高等教育出版社, 2020.6 (2021.4 重印)

设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.

注:  此为 2023年第五届阿里巴巴数学竞赛试题之分析第一题.

证明可参见 【高中数学】第五届阿里巴巴数学竞赛决赛结束！这道题你会做吗？_哔哩哔哩_bilibili

或 (5 封私信) 如何评价2023年第五届阿里巴巴数学竞赛决赛试题? - 知乎 (zhihu.com)

这里模仿Fiddie 的证法求一下 $a_n$ 的上界.

以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方（如有误请指正）.

[1] 梅加强  编著《数学分析》,  高等教育出版社, 2011.7 (2013.5 重印)

Remark:  P. 12 表示第12页, L.3 表示第3行, L.-3 表示倒数第3行.

定义函数 $f(x)$ 如下,

\[
f(x)=\begin{cases}
-x, & x < 0,\\
\frac{1}{2}f(x-f(x-1)), & x\geqslant 0.
\end{cases}
\]

求 $f(3)$.

注:  题目来源于 QQ群 数学竞赛之窗

讨论函数 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的性质.  这里 $ab\neq 0$.

(1)   设当 $x\rightarrow 0$ 时, $1-\cos(x^2)$ 是 $x\sin^n x$ 的高阶无穷小, 而 $x\sin^n x$ 又是 $e^{x^2}-1$ 的高阶无穷小, 求正整数 $n$.

(2)  已知当 $x\rightarrow 0$ 时, $\ln\sqrt{\cos x}$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小, 求常数 $k$.