令 $f(x)=\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^x$, $x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$,

证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都是严格单调递增的.

用数学归纳法证明 Bernoulli 不等式

\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad (x\geqslant -1).
\]

对 $x=-\frac{1}{(1+n)^2}$ 应用 Bernoulli 不等式说明 $a_n=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n$ 的严格单调性.

参见 [1] 习题 2.2, 8

[1] 梅加强 著 《数学分析》

设 $b_k > 0$ $(1\leqslant k\leqslant n)$, 且

\[m\leqslant\frac{a_k}{b_k}\leqslant M,\quad\forall 1\leqslant k\leqslant n,\]

则有

\[m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M .\]

见 [1] 引理 2.4.1.   此引理用于证明 Stolz 公式.  当然, 作为 Stolz 公式的特殊情形, 下面这个问题3345也可以直接用此引理证明.

Exer.  设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.

References:

[1] 梅加强  著 《数学分析》

设 $0 < a < b$, 证明 

\[\ln b-\ln a > \frac{2(b-a)}{b+a}.\]

证明:

\[\ln(2n+1) > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.\]

设 $\frac{x_1}{e^{x_1}}=\frac{x_2}{e^{x_2}}$, 证明 $x_1+x_2 > 2$.

找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.

尝试:

\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]

注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.

题目来自[1] 习题1.1, P.3

[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版

今天买到了第二版，甚为高兴, 记录一下。  ------ 2023-12-31

以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方（如有误请指正）.

[1] 梅加强  编著《数学分析》第二版,  高等教育出版社, 2020.6 (2021.4 重印)

设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.

注:  此为 2023年第五届阿里巴巴数学竞赛试题之分析第一题.

证明可参见 【高中数学】第五届阿里巴巴数学竞赛决赛结束！这道题你会做吗？_哔哩哔哩_bilibili

或 (5 封私信) 如何评价2023年第五届阿里巴巴数学竞赛决赛试题? - 知乎 (zhihu.com)

这里模仿Fiddie 的证法求一下 $a_n$ 的上界.

以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方（如有误请指正）.

[1] 梅加强  编著《数学分析》,  高等教育出版社, 2011.7 (2013.5 重印)

Remark:  P. 12 表示第12页, L.3 表示第3行, L.-3 表示倒数第3行.