找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.

尝试:

\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]

注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.

题目来自[1] 习题1.1, P.3

[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版

今天买到了第二版，甚为高兴, 记录一下。  ------ 2023-12-31

以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方（如有误请指正）.

[1] 梅加强  编著《数学分析》第二版,  高等教育出版社, 2020.6 (2021.4 重印)

设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.

注:  此为 2023年第五届阿里巴巴数学竞赛试题之分析第一题.

证明可参见 【高中数学】第五届阿里巴巴数学竞赛决赛结束！这道题你会做吗？_哔哩哔哩_bilibili

或 (5 封私信) 如何评价2023年第五届阿里巴巴数学竞赛决赛试题? - 知乎 (zhihu.com)

这里模仿Fiddie 的证法求一下 $a_n$ 的上界.

以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方（如有误请指正）.

[1] 梅加强  编著《数学分析》,  高等教育出版社, 2011.7 (2013.5 重印)

Remark:  P. 12 表示第12页, L.3 表示第3行, L.-3 表示倒数第3行.

定义函数 $f(x)$ 如下,

\[
f(x)=\begin{cases}
-x, & x < 0,\\
\frac{1}{2}f(x-f(x-1)), & x\geqslant 0.
\end{cases}
\]

求 $f(3)$.

注:  题目来源于 QQ群 数学竞赛之窗

讨论函数 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的性质.  这里 $ab\neq 0$.

(1)   设当 $x\rightarrow 0$ 时, $1-\cos(x^2)$ 是 $x\sin^n x$ 的高阶无穷小, 而 $x\sin^n x$ 又是 $e^{x^2}-1$ 的高阶无穷小, 求正整数 $n$.

(2)  已知当 $x\rightarrow 0$ 时, $\ln\sqrt{\cos x}$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小, 求常数 $k$.

设 $f(x)$, $g(x)$ 为区间 $I$ 上的一致连续函数. 则

1.  $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 在 $I$ 上也是一致连续的;
2.  如果 $f(x)$, $g(x)$ 为有界函数, 则 $f(x)g(x)$ 也是一致连续的;
3.  如果 $f(x)$ 有界, 且存在 $\varepsilon_0 > 0$, 使得 $g(x)\geqslant\varepsilon_0$, $\forall x\in I$, 则 $f(x)/g(x)$ 也是一致连续的;
4.  一致连续函数的复合函数仍为一致连续函数.

见梅加强 编著 《数学分析》 P.91 命题 3.4.8

研究函数 $f(x)=[2x]-2[x]$ ($x\in\mathbb{R}$) 的周期性.

  反双曲正弦: 
  \[
  y=\mathrm{arcsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
  \]

  反双曲余弦:
  \[
  y=\mathrm{arccosh} x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})
  \]

  反双曲正切:
  \[
  y=\mathrm{arctanh} x=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
  \]