Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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1. 设 $f(x,y)$ 分别关于变量 $x,y$ 为连续函数, 证明: 如果 $f$ 关于其中一个变量是单调函数(比如偏导数存在且非负), 则 $f$ 为二元连续函数.

Posted by haifeng on 2022-03-24 21:40:49 last update 2022-03-24 21:41:49 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x,y)$ 分别关于变量 $x,y$ 为连续函数, 证明: 如果 $f$ 关于其中一个变量是单调函数(比如偏导数存在且非负), 则 $f$ 为二元连续函数.

 


参考自[1] P. 416 习题 12.1 第9题.

References:

[1] 梅加强  著 《数学分析》,  高等教育出版社.

2. 设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的有界可积函数, 证明 $\liminf\limits_{t\rightarrow\infty}f(t)\leqslant\liminf\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f(s)\mathrm{d}s$.

Posted by haifeng on 2022-01-23 14:20:04 last update 2022-01-23 14:59:20 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的有界可积函数,  证明

\[\liminf_{t\rightarrow\infty}f(t)\leqslant\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f(s)\mathrm{d}s.\]

 

 


Remark: $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上可积即可.

Keywords: 上极限($\limsup$)、下极限($\liminf$)

3. 证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ 时, $\sin x+\tan x\geqslant 2x$.

Posted by haifeng on 2021-11-27 20:51:52 last update 2021-11-27 20:51:52 | Answers (3) | 收藏


证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ 时, $\sin x+\tan x\geqslant 2x$.

4. 设函数 $f(x)\in C([a,b])$, 且 $a < x_1 < x_2 < b$, 证明: 至少存在一点 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得 $f(\xi)=\frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$.

Posted by haifeng on 2021-11-13 17:01:05 last update 2021-11-13 17:01:05 | Answers (1) | 收藏


设函数 $f(x)\in C([a,b])$, 且 $a < x_1 < x_2 < b$, 证明: 至少存在一点 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得

\[f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.\]

5. 若 $\theta$ 满足 $n\theta=2\pi$, $n\geqslant 2$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=0$.

Posted by haifeng on 2021-07-17 11:46:07 last update 2021-07-18 10:28:27 | Answers (2) | 收藏


若 $\theta$ 满足 $n\theta=2\pi$, $n\geqslant 2$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=0$, 即

\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=0.\tag{1}
\]

对于 $\sin$, 结论更显然.

\[
\sin\theta+\sin(2\theta)+\sin(3\theta)+\cdots+\sin(n\theta)=0.\tag{2}
\]

将坐标系转动某个角度, 等式是否仍成立? 也可以表述如下:

\[
\cos(\theta+\delta)+\cos(2\theta+\delta)+\cos(3\theta+\delta)+\cdots+\cos(n\theta+\delta)=0\ ?
\]

 

要求: 不使用下面的公式

\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=\frac{\sin\frac{n}{2}\theta\cdot\cos\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\tag{*}
\]

 


 

(1) 和 (2), 更一般的, 写为

\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}=0,\qquad(\text{当} q\nmid h)
\]

参见问题2791


例如 若 $3\theta=2\pi$, 则

\[
\begin{split}
&\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)\\
=&\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{6\pi}{3}\\
=&-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\
=&0.
\end{split}
\]

(关于 $\cos 3\theta$ 的展开, 可参见问题2398 )

 

还可以由此求一些特殊角的余弦值, 例如 $\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

6. 若抛物线 $y=ax^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 求 $a$ 的值.

Posted by haifeng on 2021-02-24 19:03:49 last update 2021-02-24 19:03:49 | Answers (1) | 收藏


若抛物线 $y=ax^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 求 $a$ 的值.

 

[分析] 若 $a < 0$, 则抛物线开口向下, 不可能与对数曲线 $y=\ln x$ 相切. 故这里推出 $a > 0$.

7. 试确定常数 $a,b$, 使函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x^2 e^{n(x-1)}+ax+b}{e^{n(x-1)}+1}$ 在 $x=1$ 处可导.

Posted by haifeng on 2020-12-31 11:03:55 last update 2020-12-31 11:03:55 | Answers (0) | 收藏


试确定常数 $a,b$, 使函数

\[f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x^2 e^{n(x-1)}+ax+b}{e^{n(x-1)}+1}\]

在 $x=1$ 处可导.

 

8. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

Posted by haifeng on 2020-11-29 06:56:38 last update 2020-11-29 06:56:38 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

 

9. 设函数 $f(x)$ 对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 都满足: $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=1$. 证明: $f'(x)=f(x)$. 事实上, $f(x)=e^x$.

Posted by haifeng on 2020-11-29 06:53:56 last update 2020-11-29 09:54:02 | Answers (2) | 收藏


设函数 $f(x)$ 对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 都满足: $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=1$. 证明: $f'(x)=f(x)$. 事实上, $f(x)=e^x$.

 

 


Q. 单由 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 能推出 $f(x)$ 满足什么性质?

10. 对任意实数 $a,b$, 证明: $a^n-b^n$ 有因式 $a-b$.

Posted by haifeng on 2020-11-25 14:18:26 last update 2020-11-25 14:18:26 | Answers (1) | 收藏


对任意实数 $a,b$, 证明: $a^n-b^n$ 有因式 $a-b$. 具体的,

\[
\begin{split}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2 b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\\
&=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}
\end{split}
\]

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