Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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1. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

Posted by haifeng on 2020-11-29 06:56:38 last update 2020-11-29 06:56:38 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

 

2. 设函数 $f(x)$ 对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 都满足: $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=1$. 证明: $f'(x)=f(x)$. 事实上, $f(x)=e^x$.

Posted by haifeng on 2020-11-29 06:53:56 last update 2020-11-29 09:54:02 | Answers (2) | 收藏


设函数 $f(x)$ 对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 都满足: $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=1$. 证明: $f'(x)=f(x)$. 事实上, $f(x)=e^x$.

 

 


Q. 单由 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 能推出 $f(x)$ 满足什么性质?

3. 对任意实数 $a,b$, 证明: $a^n-b^n$ 有因式 $a-b$.

Posted by haifeng on 2020-11-25 14:18:26 last update 2020-11-25 14:18:26 | Answers (1) | 收藏


对任意实数 $a,b$, 证明: $a^n-b^n$ 有因式 $a-b$. 具体的,

\[
\begin{split}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2 b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\\
&=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}
\end{split}
\]

4. 证明 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ($n > 1$) 及 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n+1}$ ($n\geqslant 1$) 都不是整数.

Posted by haifeng on 2020-11-23 14:05:16 last update 2020-11-23 14:45:45 | Answers (0) | 收藏


证明 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ($n > 1$) 及 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n+1}$ ($n\geqslant 1$) 都不是整数.

 

 


相关问题

问题1715

5. 对于正数 $a,b,c,d$, 若 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$, 则 $\frac{a}{c} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{b}{d}$.

Posted by haifeng on 2020-11-18 15:52:47 last update 2020-11-18 19:24:25 | Answers (0) | 收藏


对于正数 $a,b,c,d$, 若 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$, 则推出

\[\frac{a}{c} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{b}{d}.\]

 


Remark:

证明是显然的.

这个结论通常用于 Farey 序列,  问题2625的证明也用到了这个结论.

 

 

6. 设正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+c > \frac{1}{2}$, $b+d < \frac{1}{2}$. 则存在 $a,c$ 使得 $ac>bd$.

Posted by haifeng on 2020-11-18 14:14:20 last update 2020-11-18 14:14:20 | Answers (1) | 收藏


Claim.  设正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+c > \frac{1}{2}$, $b+d < \frac{1}{2}$. 则存在 $a,c$ 使得 $ac>bd$.

7. 设 $f(x)\in C([0,1])$, 在 $(0,1)$ 上可导, 且 $|f'(x)|\leqslant 1$, $\forall\ x\in(0,1)$. 又设 $f(0)=f(1)=0$, 证明: $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\frac{1}{2}$, $\forall\ x_1,x_2\in[0,1]$.

Posted by haifeng on 2020-11-18 13:39:25 last update 2020-11-18 13:39:25 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的连续函数, 在 $(0,1)$ 上可导, 且导数的绝对值不超过 1. 又假设 $f(0)=f(1)=0$, 证明: 对任意 $x_1,x_2\in[0,1]$, 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\frac{1}{2}$.

8. [Homework] 3.6

Posted by haifeng on 2020-11-16 17:04:33 last update 2020-11-17 11:21:30 | Answers (1) | 收藏


P.145  习题 3.6


3.  作出下列函数的图形.

(4)    $y=e^{-\frac{(x-1)^2}{2}}$

 

[Hint] 我们只需研究函数 $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$, 所要讨论函数是由 $f(x)$ 向右平移 1 个单位得到的.

9. [Homework] 3.5

Posted by haifeng on 2020-11-16 17:03:19 last update 2020-11-16 17:03:19 | Answers (1) | 收藏


P. 139  习题 3.5


1.  求下列曲线的凹凸区间与拐点.

(2)    $y=\ln(x^2+1)$

 

 

10. [Homework] 3.4

Posted by haifeng on 2020-11-16 17:01:23 last update 2020-11-16 17:01:23 | Answers (3) | 收藏


P. 135  习题 3.4


1.  确定下列函数的单调区间.

(3)    $y=\frac{8}{3}x^3-\ln x$

 

 

5.  求下列函数的极值.

(6)    $y=\cos x+\sin x$,     $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

 

 

 

7.  求下列函数的最大值或最小值, 如果都存在, 均求出.

(2)    $y=|x^2-3x+2|$,    $x\in[-3,4]$

 

 

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