Prop. 严格单调递增(减)的连续函数有反函数, 其反函数也是严格单调递增(减)的连续函数.

证明: 单调有界数列必有极限.

证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0$ 当且仅当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0$.

证明: $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$.

至少有三种证法.

(1) 数学归纳法(mathematical induction)

(2) 考虑telescoping sum $\sum\limits_{i=1}^{n}[(i+1)^4-i^4]$

(3) 由 Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain Alkarchi 在公元后大约1010年左右证明. 使用一个边长为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的正方形来证明. 此正方形的边被分割成长度依次为 $1,2,3,\ldots,n$ 的线段.

(4) 第四种证明是由 David Chen (陈)的儿子（六年级）在2019年12月20日发现的. 使用了下面的观察, 也是一种 telescoping sum

首先 $i^3=(i-1)i(i+1)+i$, 然后观察到

\[
(i-1)i(i+1)=\frac{1}{4}\Bigl[(i-1)i(i+1)(i+2)-(i-2)(i-1)i(i+1)\Bigr]
\]

Note: $(i-1)i(i+1)=i(i^2-1)$ 这个形式也出现在 $y^2=x^3+x^2$ 的有理参数化中. (令 $x=t^2-1$, 则 $y=t(t^2-1)$)

代数几何中, 平面三次曲线族 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ (这里 $\lambda\in\mathbb{R}$) 只有对于 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$ 时能被有理参数化. 

参见 Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 6-7, 例0.5.

References of (3)

James Stewart, Calculus (7th Edition) Appendix E. Exercise 40.

顺便考虑一下 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^4$,  $\sum\limits_{i=1}^{n}i^5$ 等等.

已知方程 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 中有实根, 确定常数 $k$ 取值范围.

[hint]

本题实际上就是要确定函数 $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上的最大最小值.

证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

请求出此方程的所有根.

证明: 方程 $x^5-3x^3-1=0$ 至少有一个介于 1 与 2 之间的实根.

求函数 $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x-x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$ 的间断点, 并判别间断点的类型.

[hint]

写出 $f(x)$ 的具体表达式, 分段定义.

设 $\alpha(x),\beta(x)$ 是 $x\rightarrow x_0$ 时的无穷小量, $\alpha_1(x),\beta_1(x)$ 也是 $x\rightarrow x_0$ 时的无穷小量. 并且当 $x\rightarrow x_0$ 时, $\alpha(x)\sim\alpha_1(x)$, $\beta(x)\sim\beta_1(x)$.

问什么时候有 $\alpha(x)-\beta(x)\sim\alpha_1(x)-\beta_1(x)$?

A. 当 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 不等价时, 可以这样代换.

设 $f(x)$ 可导, 对 $\forall s,t\in\mathbb{R}$, 有 $f(s+t)=f(s)+f(t)+2st$, 且 $f'(0)=1$. 求 $f(x)$ 的表达式.