证明: Dirichlet 函数在 [0,1] 上不是 Riemann 可积的.

Dirichlet 函数的定义如下:

\[
D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}.
\end{cases}
\]

有时简记 $\mathbb{Q}^c$ 为 $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, 即无理数集.

Dirichlet 函数即为有理数集在实数集上的特征函数(indicator function).

定义(一致等度连续(uniformly equicontinuous))

设 $\{f_n\}$ 是定义在区间 $I$ 上的一列函数. 若对任意的 $\varepsilon > 0$, 存在(不依赖于 $n$) $\delta > 0$, 使对所有 $n\in\mathbb{N}$, 只要区间 $I$ 中的两点 $x_1,x_2$ 相差小于 $\delta$, 就有 $|f_n(x_1)-f_n(x_2)| < \varepsilon$, 我们就称函数族 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上是一致等度连续的.

使用符号表示:

$\forall\varepsilon > 0$, $\exists\delta(\varepsilon) > 0$, $\forall\ n\in\mathbb{N}$, s.t., $|x_1-x_2|<\delta$, $x_1,x_2\in I$  $\Rightarrow$ $|f_n(x_1)-f_n(x_2)| < \varepsilon$.

而一致连续是针对单个函数的概念, 如果说这列函数在 $I$ 上是一致连续的, 是指每个函数在 $I$ 上一致连续. 即

$\forall\varepsilon > 0$, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\exists\delta(\varepsilon,n)>0$,  s.t., $|x_1-x_2|<\delta$, $x_1,x_2\in I$  $\Rightarrow$ $|f_n(x_1)-f_n(x_2)| < \varepsilon$.

因此, 函数族 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上一致等度连续要比它们在 $I$ 上一致连续来得强.

例. 黎曼流形 $(M,g)$ 上可以构造一致等度连续的函数簇. 见问题3534.

参考文献

[1] continuity - What's the difference between uniformly equicontinuous and uniformly continuous? - Mathematics Stack Exchange

证明: $\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是一致连续的. 

(用定义证明)

[Hint]  将 $(0,+\infty)$ 分两部分, 比如 $(0,a]$ 和 $[a,+\infty)$. 这里 $a > 0$. 在 $(0,a]$ 上利用不等式

\[
|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}.
\]

设贷款本金为 $A$, 月利率是 $x$, 贷款期限是 $n$ 个月, 若选择等额本息, 求每月还款利息.

答案是:  利息为 $\dfrac{Ax(1+x)^n}{(1+x)^n-1}$.

求下列函数的间断点并判断间断点的类型.

1.  $f(x)=\begin{cases}x, & x\text{为有理数},\\ -x, & x\text{为无理数}.\end{cases}$

设 $f(x)=\ln x^2-\log_{\frac{1}{2}}(x^2+1)$, 求使得 $f(\log_{\frac{1}{3}}x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围.

证明: 对任意 $n\geqslant 1$, 有

\[\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}.\]

当 $\theta\neq 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ 时, 证明下面的恒等式,

\[
\sin x+\sin(x+\theta)+\sin(x+2\theta)+\cdots+\sin(x+(n-1)\theta)=\frac{\sin\frac{n\theta}{2}\cdot\sin(x+\frac{n-1}{2}\theta)}{\sin\frac{\theta}{2}}.
\]

[分析]  恒等式左边是关于等差数列 $\{x+k\theta\mid k=0,1,2,\ldots,n-1\}$ 的正弦值的和.

回顾三角函数的积化和差公式

\[
\sin x\cdot\sin y=-\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr]=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr],\tag{*}
\]

这可由和差化积公式

\[
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
\]

推出.

注意到 $(*)$ 式右边是两个式子的差, 故如果是很多项都形如这种形式, 可以构造成前后抵消的形式.

我们假设 $\sin x+\sin(x+\theta)+\sin(x+2\theta)+\cdots+\sin(x+(n-1)\theta)$ 乘以 $\sin t$ 后可以前后抵消,

\[
\begin{aligned}
\sin t\cdot\sin x&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(t-x)-\cos(t+x)\bigr]=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x-t)-\cos(t+x)\bigr]\\
\sin t\cdot\sin(x+\theta)&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+\theta-t)-\cos(t+x+\theta)\bigr]\\
\sin t\cdot\sin(x+2\theta)&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+2\theta-t)-\cos(t+x+2\theta)\bigr]\\
&\vdots\\
\sin t\cdot\sin(x+(n-1)\theta)&=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x+(n-1)\theta-t)-\cos(t+x+(n-1)\theta)\bigr]\\
\end{aligned}
\]

要使得前后抵消, 只需令 $x+k\theta-t=t+x+(k-1)\theta$, 这推出 $t=\frac{1}{2}\theta$.

因此, 证明方法是乘以 $\sin\frac{1}{2}\theta$.

设 $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ 的各个偏导数存在且连续, $a,b\in\mathbb{R}$, 则有

(1)  $\mathrm{grad}(au+bv)=a\mathrm{grad}u+b\mathrm{grad}v$;

(2) $\mathrm{grad}(u\cdot v)=v\mathrm{grad}u+u\mathrm{grad}v$.

证明: 曲面 $F(nx-lz,ny-mz)=0$ 在任一点处的切平面都平行于直线
\[
\frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n},
\]
其中 $F$ 具有连续的偏导数.