Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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81. Taylor 展开

Posted by haifeng on 2015-03-10 18:17:54 last update 2020-11-01 16:07:00 | Answers (1) | 收藏


对于 $x\in(-1,1)$, 有

\[
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^3}=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+\cdots+\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^n+\cdots
\]

将下面的函数在 $x=0$ 处作 Taylor 展开

\[
f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}
\]

 

关于 $f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数, 参见问题2598


 

此外, 还可以从另一个观点导出上面的结果

\[
\begin{split}
\frac{1}{(1-x)^2}&=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}\\
&=(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)\cdot(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)
\end{split}
\]

82. $F(x)=\sin x^2\cdot\int_0^1f(t\sin x^2)dt$, 求 $\frac{dF}{dx}$.

Posted by haifeng on 2015-03-10 09:38:10 last update 2015-03-10 09:38:10 | Answers (1) | 收藏


$F(x)=\sin x^2\cdot\int_0^1f(t\sin x^2)dt$, 求 $\frac{dF}{dx}$.

83. 对于 $t$ 的不同取值, 讨论函数 $f(x)=\frac{1+2x}{2+x^2}$ 在区间 $[t,+\infty)$ 上是否有最大值或最小值.

Posted by haifeng on 2015-03-04 07:52:12 last update 2015-03-04 20:21:19 | Answers (1) | 收藏


对于 $t$ 的不同取值, 讨论函数 $f(x)=\frac{1+2x}{2+x^2}$ 在区间 $[t,+\infty)$ 上是否有最大值或最小值.

若存在最值, 求出相应的最值点和最值.

 

84. 证明方程 $xe^{2x}-2x-\cos x=0$ 有且仅有两个根, 而且是一正一负.

Posted by haifeng on 2015-03-03 19:53:25 last update 2015-03-03 19:53:25 | Answers (1) | 收藏


证明方程 $xe^{2x}-2x-\cos x=0$ 有且仅有两个根, 而且是一正一负.

85. $|f'(0)|+|f'(a)|\leqslant ka$

Posted by haifeng on 2015-03-02 12:42:00 last update 2015-03-02 13:02:12 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)\in C^2[0,+\infty)$, $|f''(x)|\leqslant k$, $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到极值.

证明:

\[
|f'(0)|+|f'(a)|\leqslant ka.
\]


如果条件改为 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到在 $[0,a]$ 中的最大值 $M$, 则有

\[
|f(0)|+|f(a)|\leqslant 2M+\frac{k}{2}a^2.
\]

86. 构造函数

Posted by haifeng on 2015-02-06 20:03:40 last update 2015-02-06 20:03:40 | Answers (0) | 收藏


$\mathbb{R}$ 上是否存在这样的函数:

(1) 在有理数处取值有理数;

(2) 在有理数处可导, 且取值为无理数.

87. 设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 求证 $\cos^2 x+x\sin x< 2$.

Posted by haifeng on 2015-01-21 11:23:55 last update 2015-01-21 11:23:55 | Answers (1) | 收藏


设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 求证 $\cos^2 x+x\sin x< 2$.

88. $f(x)=\frac{4x^2-7}{2-x}$

Posted by haifeng on 2015-01-03 16:33:47 last update 2015-01-03 16:33:47 | Answers (1) | 收藏


$f(x)=\frac{4x^2-7}{2-x}$, $x\in [0,1]$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和值域.

(2) 设 $a\geqslant 1$, 函数 $g(x)=x^3-3a^2 x-2a$, $x\in[0,1]$. 若对 $\forall\ x_1\in[0,1]$, 总存在 $x_0\in[0,1]$, 使得 $g(x_0)=f(x_1)$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

89. 证明: 方程 $4x-1-\int_0^x\frac{dt}{1+t^3}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一实根.

Posted by haifeng on 2014-12-28 18:05:12 last update 2014-12-28 18:05:12 | Answers (1) | 收藏


证明: 方程

\[
4x-1-\int_0^x\frac{dt}{1+t^3}=0
\]

在区间 $(0,1)$ 内有唯一实根.

90. Jensen 不等式

Posted by haifeng on 2014-12-19 13:58:56 last update 2023-08-23 09:09:16 | Answers (0) | 收藏


Jensen 不等式

设 $\varphi$ 是 $[\alpha,\beta]$ 上的凸函数, $f(x),p(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\alpha\leqslant f(x)\leqslant\beta$, $p(x)\geqslant 0$, $x\in[a,b]$. 并且 $\int_a^b p(x)\mathrm{d}x > 0$, 则

\[
\varphi\biggl(\frac{\int_a^b p(x)f(x)\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}\biggr)\leqslant\frac{\int_a^b p(x)\varphi(f(x))\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}.
\]

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