证明: 方程

\[
4x-1-\int_0^x\frac{dt}{1+t^3}=0
\]

在区间 $(0,1)$ 内有唯一实根.

Jensen 不等式

设 $\varphi$ 是 $[\alpha,\beta]$ 上的凸函数, $f(x),p(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\alpha\leqslant f(x)\leqslant\beta$, $p(x)\geqslant 0$, $x\in[a,b]$. 并且 $\int_a^b p(x)\mathrm{d}x > 0$, 则

\[
\varphi\biggl(\frac{\int_a^b p(x)f(x)\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}\biggr)\leqslant\frac{\int_a^b p(x)\varphi(f(x))\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}.
\]

设 $f\in C^2[0,+\infty)$, $f > 0$ 且

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0.\]

证明: $f$ 限制在任何区间 $[M,+\infty)$ 上都不是凹函数, 这里 $M>0$.

Cor. 存在点列 $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$, $(x_i < x_{i+1})$, 且 $x_n\rightarrow+\infty$,  使得 $f''(x_i)\geqslant 0$, $i=1,2,\ldots,n,\ldots$.

研究函数

\[
z=f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

在 $(0,0)$ 处的全微分是否存在.

类似的也可以考虑函数

\[
z=f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

它在 $(0,0)$ 处也是不可微的.

证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x$, $x>0$

求 $f(t)=\frac{1}{1-t}+\frac{2}{t}$ 的最小值, 这里 $t\in(0,1)$.

Question:  能否用初等方法做?

设 $f(x)$ 是奇函数, 且可导. 证明 $g(x)=f'(x)$ 是偶函数.

Hint:

对 $f(-x)=-f(x)$ 两边求导, 得

\[
f'(-x)\cdot(-1)=-f'(x),
\]

而 $g(-x)=f'(-x)$, 因此

\[
g(-x)=f'(-x)=f'(x)=g(x).
\]
 

设 $x_1,x_2,\ldots,x_n\in[0,1]$. 证明, 存在 $t_0\in[0,1]$, 使得

\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|t_0-x_i|=\frac{1}{2}.
\]

设 $f,g\in C[a,b]$, 且点列 $x_n\in[a,b]$ 满足

\[f(x_{n+1})=g(x_n),\quad n\in\mathbb{N}^*\]

证明: 必有一点 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=g(x_0)$.

黎曼函数或称 Thomae 函数是指下面定义的函数:

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\ \text{是有理数, 且等于既约分数}\ \frac{p}{q},\ \text{其中}\ q>0,\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]

注意到对任意整数 $n$, 有 $f(n)=1$.

证明黎曼函数处处不可微.

References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf