问题及解答

求

\[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\underbrace{\cos(\cos(\cdots\cos(\cos}(x))\cdots)) \]

$\cos(x)$ 是偶函数, 所以只要考虑 $x$ 为正即可. 又 $\cos(x)\in[-1,1]$, 所以对于两次复合 $\cos(\cos(x))$ 而言, 其值域为 $[\cos 1,1]$. $\cos(\cos(\cos(x)))$ 的值域为 $[\cos 1,\cos(\cos 1)]$. 若记

\[{}^n\cos(x):=\underbrace{\cos(\cos(\cdots\cos(\cos}(x))\cdots)),\]

则

\begin{eqnarray}{}^2\cos(x)&\in&[\cos 1,1]\\ {}^3\cos(x)&\in&[\cos 1,{}^2\cos 1]\\ {}^4\cos(x)&\in&[{}^3\cos 1,{}^2\cos 1]\\ {}^5\cos(x)&\in&[{}^3\cos 1,{}^4\cos 1]\\ &\vdots&\end{eqnarray}

用归纳法容易证明:

\begin{eqnarray}{}^{2k}\cos(x)&\in&[{}^{2k-1}\cos 1,{}^{2k-2}\cos 1]\\ {}^{2k+1}\cos(x)&\in&[{}^{2k-1}\cos 1,{}^{2k}\cos 1]\end{eqnarray}

而$\cos 1\doteq 0.540302306$, 且注意到

\[\cos 1<{}^3\cos 1<{}^5\cos 1<\cdots<{}^{2k+1}\cos 1<\cdots<{}^{2k}\cos 1<\cdots<{}^4\cos 1<{}^2\cos 1<1\]

故极限 $\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}{}^{2k+1}\cos 1$, $\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}{}^{2k}\cos 1$ 均存在, 分别设为 $a,b$. 则

\[a\leqslant b,\qquad a=\cos b,\qquad b=\cos a.\]

于是 $a=\cos b=\cos(\cos a)$, $b=\cos a=\cos(\cos b)$, 即 $a,b$ 均为方程 $x=\cos(\cos(x))$ 的解. 在 $[0,1]$ 内, 方程 $\arccos(x)=\cos(x)$ 只有惟一解. 故 $a=b$. 因此极限 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{}^n\cos 1$ 存在. 从而原问题的极限是一个常值函数, 即为 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{}^n\cos 1=a$, $a$ 为方程 $\arccos(x)=\cos(x)$ 在 $[0,1]$ 内的唯一解.