设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续, 且有唯一的极值点. 证明此极值点就是最值点.

Remark:

(1) 将区间改为 $[a,b]$ 或半开半闭区间, 命题也成立.

(2) 连续性的条件不能少. 反例如下:

\[
f(x)=\begin{cases}
|x|, & x\in(-1,0)\cup(0,1)\\
\frac{1}{2}, & x=0
\end{cases}
\]

此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上无最大值也无最小值, 但有一个极值点 $x=0$.

P. 125  习题 3.3

4.  求函数 $f(x)=\arcsin x$ 的带有拉格朗日(Lagrange)余项的三阶麦克劳林(MacLaurin)展开式.

6.  求函数 $f(x)=xe^x$ 的带有皮亚诺(Peano)余项的 $n$ 阶麦克劳林展开式.

9.  利用麦克劳林公式求下列极限:

(1)    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x}$

证明 $e$ 是无理数.

这里 $e$ 指

\[
e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots
\]

用反证法证明.

References:

梅加强,  《数学分析》

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上三阶连续可导, 且满足 $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f'(\frac{1}{2})=0$. 

证明: 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f'''(\xi)=24$.

证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时, 有 $\frac{2}{\pi}\leqslant\frac{\sin x}{x}$.

[Hint] 考虑 $\varphi(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x\in(0,\frac{\pi}{2}],\\ 1, & x=0\end{cases}$.

由于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$, 故 $\varphi(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上连续.

3. 设 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(1+3x^2)}{x},&x\neq 0,\\ 0, & x=0,\end{cases}$     求 $f'(0)$

6. 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数, 证明:

\[
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0+\beta h)}{h}=(\alpha-\beta)f'(x_0).
\]

试补充定义 $f(0)$, 使函数

\[
f(x)=\biggl(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}
\]

在 $x=0$ 处连续.

P. 58

2. 证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

4. 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 且对 $\forall\ x\in[0,1]$, 有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$. 证明: 至少存在一点 $x_0\in[0,1]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.

P.56

2. 讨论下列函数的连续性, 若有间断点, 指出其类型.

(2)  $f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$

3.  求函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+x-6}}$ 的连续区间, 并求 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)$.

6.  求下列极限:

(2)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2-3x-4}{\sqrt{x^4+1}}$

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$     (参见问题2348)

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\Bigr)^{2x^2}$     (参见问题2349)

Prop. 严格单调递增(减)的连续函数有反函数, 其反函数也是严格单调递增(减)的连续函数.