问题及解答

P. 135  习题 3.4

1.  确定下列函数的单调区间.

(3)    $y=\frac{8}{3}x^3-\ln x$

5.  求下列函数的极值.

(6)    $y=\cos x+\sin x$,     $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

7.  求下列函数的最大值或最小值, 如果都存在, 均求出.

(2)    $y=|x^2-3x+2|$,    $x\in[-3,4]$

1.  (3)

函数的定义域为: $D=(0,+\infty)$.

\[
y'=8x^2-\frac{1}{x}=\frac{8x^3-1}{x}.
\]

因此, $y' > 0$ 等价于 $x(8x^3-1) > 0$. 又 $8x^3-1=(2x-1)((2x)^2+2x+1)$, 故

\[
y' > 0\ \Leftrightarrow\ x(2x-1) > 0.
\]

又 $x > 0$. 故 $y' > 0$ 当且仅当 $x\in(\frac{1}{2},+\infty)$. 也就是说, 函数的单调递增区间为 $(\frac{1}{2},+\infty)$, 单调递减区间为 $(0,\frac{1}{2})$.

5.  (6)  $y'=-\sin x+\cos x$.

\[
y'=-\sin x+\cos x > 0 \ \Leftrightarrow\ \sin x < \cos x
\]

令 $y'=0$, 则推出 $\sin x=\cos x$, 即 $\tan x=1$. 对于 $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, 有唯一解 $x=\frac{\pi}{4}$.

当 $x\in(0,\frac{\pi}{4})$ 时, $y' > 0$. 当 $x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$ 时, $y' < 0$. 因此, $x=\frac{\pi}{4}$ 是函数 $y=\cos x+\sin x$ 在区间 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 中的唯一极大值点. 故根据定理, 其也是最大值点.

最大值为 $y(\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}$.

\[
\begin{aligned}
y(-\frac{\pi}{2})&=\cos(-\frac{\pi}{2})+\sin(-\frac{\pi}{2})=-1,\\
y(\frac{\pi}{2})&=\cos(\frac{\pi}{2})+\sin(\frac{\pi}{2})=1.
\end{aligned}
\]

\[
y_{\min}=\min\{y(-\frac{\pi}{2}), y(\frac{\pi}{2})\}=-1.
\]

Remark:

1. 这里只要求极值, 因此, 求出极大值即可.

2. 事实上, 用高中的知识就可以求解. $y=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$.  很容易画出它在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上的图像, 以求出最小最大值.

7.  (2)

\[
y=|x^2-3x+2|=|(x-1)(x-2)|\geqslant 0.
\]

当 $x=1$ 或 $x=2$ 时取得最小值 $0$.

$y(-3)=|(-3-1)(-3-2)|=20$, $y(4)=|(4-1)(4-2)|=6$. 因此 $y$ 在 $x=-3$ 取得最大值 $20$.