问题及解答

P. 139  习题 3.5

1.  求下列曲线的凹凸区间与拐点.

(2)    $y=\ln(x^2+1)$

函数的定义域为 $x\in\mathbb{R}$.

$y'=\frac{1}{x^2+1}\cdot (2x)=\frac{2x}{x^2+1}$.  导数在任意点处都存在, 且有唯一的驻点 $x=0$.

\[
y''=(\frac{2x}{x^2+1})'=\frac{2\cdot(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}
\]

于是 $y'' > 0 $ 当且仅当 $1-x^2 > 0$. 即有 

\[
y''
\begin{cases}
> 0, & x\in(-1,1),\\
=0, & x\pm 1,\\
< 0, & x\in(-\infty, -1)\cup(1,+\infty).
\end{cases}
\]

函数的凹区间为 $(-\infty, -1)$, $(1,+\infty)$.
函数的凸区间为 $(-1,1)$.
函数的拐点为 $x=\pm 1$. (详细的坐标为: $(-1,\ln 2)$, $(1,\ln 2)$.)