问题

证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时, 有 $\frac{2}{\pi}\leqslant\frac{\sin x}{x}$.

[Hint] 考虑 $\varphi(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x\in(0,\frac{\pi}{2}],\\ 1, & x=0\end{cases}$.

由于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$, 故 $\varphi(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上连续.